Деформация. Сжатие и растяжение.
Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат
Для
построения графика функции
следует
построить график функции у=f(x)
и увеличить его ординаты в А
раз при
А>1 или
уменьшить его ординаты в А
раз при 0<A<1.
Пример
1. Построить график функции
.
Решение. Строим график функции (Рис. 21 – пунктирная кривая) и растяжением этого графика вдоль оси ординат в 2 раза получаем график исходной функции (сплошная линия).
Пример
2. Построить график функции
.
Решение.
Строим график функции
и сжатием этого графика в три раза вдоль
оси ординат получаем график исходной
функции (рис. 22).
Рис. 21 Рис. 22
Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс.
Для
построения графика функции
следует
построить график функции у=f(x)
и уменьшить его абсциссы в ω
раз при ω>1
или увеличить его абсциссы в ω
раз при ω<1.
Пример
3. Построить график функции
.
Решение.
Строим график функции
(рис. 23 – пунктирная линия) и, проводя
его сжатие в
раз
вдоль оси абсцисс, получим график функции
(сплошная линия).
Пример
4. Построить график функции
.
Решение. Строим график функции и, растянув его вдоль оси абсцисс в 3 раза, получаем график функции (рис. 24).
Рис. 23 Рис.24
Задачи для работы в аудитории
1.Найти множество значений функции
7.Доказать, что четная функция не имеет обратной.
Найти
обратную функцию
для функции
.
8. 
;
9. 
10. 
11. 
12. 
Для каждой из следующих функций установить, существует ли обратная функция. Если существует, то найти её.
13. 
;
14. 
15. 
;
16. 
17.
При каких значениях
функция
совпадает со своей обратной функцией?
Найти область определения функции (самостоятельно)
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23.
24.
25.
26.
27.
Найти множество значений функции (в аудитории)
28.
29.
30.
31.
32.
Найти область определения функции (в аудитории)
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
Изобразить
на координатной плоскости множество
точек
,
координаты которых удовлетворяют
условию
43.
44.
45.
46.
47.
48.
ОТВЕТЫ
/
;
нет
нет
ЗАНЯТИЕ 3.
Многочлены. Определение. Деление многочлена на многочлен. Необходимые сведения из теории
Многочленом
(полиномом) n-степени с одной переменной
называется функция вида Pn(x)
=
(1)
где
a0,
a1,
a2,
…, an-1,
an
- коэффициенты,
причем
an≠0,
.
Два многочлена Pn(x) и Qn(x) называются равными, если соответственно равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Записывают Pn(x) ≡ Qn(x)
Многочлен
P0(x)
≡ а,
где а
R, а
≠ 0 считают многочленом нулевой степени.
Многочлен P1(x) =ax + b, где а ≠ 0 называют линейным двучленом.
Многочлен P2(x) = ax2 + bx + c, где а ≠ 0 называют квадратным трехчленом
Суммой двух многочленов Pn(x) и Qm(x) называют многочлен, коэффициенты которого равны сумме соответствующих коэффициентов многочленов Pn (x) и Qm(x).
Разностью двух многочленов P(x) и Q(x) называется многочлен, у которого коэффициенты при каждой степени х равены разности коэффициентов при той же степени в многочленах P(x) и Q(x).
Произведением
многочленов Pn(x)
=
an и Qm(x)
=
называют многочлен Zn+m(x)=
где
,
i=0,…,n+m.
Операции сложения и умножения многочленов подчиняются коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам:
а) коммутативный:
P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x); P(x) ∙ Q(x) = Q(x) ∙ P(x);
б) ассоциативный:
P(x) + ( Q(x) + Z(x) ) = ( P(x) + Q(x) ) + Z(x);
P(x) ∙ ( Q(x) ∙ Z(x) ) = ( P(x) ∙ Q(x) ) ∙ Z(x);
в)дистрибутивный:
P(x) ∙ ( Q(x) + Z(x) ) = P(x)Q(x) + P(x)Z(x).
Пусть P(x) = Q(x)S(x), P(x) и Q(x) два многочлена, причем степень многочлена P(x) не меньше степени многочлена Q(x) и, если существует такой многочлен S(x), что выполняется равенство
P(x) = Q(x)S(x), то говорят, что многочлен P(x) делится нацело на многочлен Q(x). P(x), Q(x), S(x) называются соответственно делимое, делитель, частное. Если такого многочлена не существует, то многочлен P(x) не делится на Q(x). В этом случае, как и при рассмотрении деления с числами производится деление с остатком.
Разделить многочлен P(x) на Q(x) с остатком это значит представить многочлен P(x) в виде равенства P(x) = Q(x)S(x) + R(x),
где R(x) остаток, причём степень R(x) меньше степени Q(x), причем многочлены S(x) и R(x) находятся однозначно.
Существует теорема Безу, дающая возможность вычислять остаток при делении многочлена на двучлен вида x – с.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x – с равен значению многочлена P(x) при x = с.
Число x0 называется корнем многочлена P(x), если P(x0) = 0.
Следствие1. Если остаток от деления многочлена P(x) на Q(x) = x – x0 равен нулю, то значение
x = x0 есть корень многочлена P(x).
Следствие2.
Остаток от деления многочлена P(x)
на Q(x)
= ax
+ b
равен значению многочлена P(x)
при
