Ответы к задачам для работы в аудитории
1. а) Р(х)+Q(x)=7х-2, Р(х)-Q(x)=6х2-3х-6;
б) Р(х)+Q(x)=2х3+4х2-4, Р(х)-Q(x)=-2х3+4х2+2х-12;
в) Р(х)+Q(x)=х5+3х4-2х3+х2+х-4, Р(х)-Q(x)=х5-3х4-2х3-х2+х-1.
2. а)5х4-17х3+6х2+15х-6; б) -2х5+5х4-11х3+6х2-4х.
3. а) х4+6х3-3х2-х+1=(x2-2x+3)( x2+8x+10)-5х-29;
б) -2х5+х+1=( x-1)( -2х4-2х3-2х2-2х-1).
4. х4-х3+3х2+2=(х2-х+2)(х2+1)+х.
5. а=1.
6.
=
.
Ответы к задачам для самостоятельных занятий
1. a) Р(х)+Q(x)=x4+2x3-12x2+13x-7, P(x)-Q(x)=-x4+4x3+2x2-13x+5, P(x)Q(x)=3x7-8x6-16x5+73x4-82x3+37x2-13x+6;
б) Р(х)+Q(x)=2x4+9x3+3x2-14x+7, Р(х)-Q(x)=2x4+5x3-7x2-12x+5,
P(x)Q(x)=4x7+24x6+29x5-45x4-58x3+45x2+7x-6.
2. а) x4+12x3+49x2+78x+40; б) 2x4+7x3-2x2-13x+6.
3. -3x5-4x4+24x3-15x2+x-2=(x2+2x-7)(-3х3+2х2-х+1)-8х+5.
4. 5х4-х3-х-4=(х2-4)(5х2-х+4)-5х+12.
5. a=3.
6.
=
.
3 Задача для аттестационной работы 7 вариантов.
1.
Представить рациональную дробь
в виде суммы целой части и правильной
дроби.
2.
Представить рациональную дробь
в виде суммы целой части и правильной
дроби.
3.
Представить рациональную дробь
в виде суммы целой части и правильной
дроби.
4.
Представить рациональную дробь
в виде суммы целой части и правильной
дроби.
5.
Представить рациональную дробь
в виде суммы целой части и правильной
дроби.
6.
Представить рациональную дробь
в виде суммы целой части и правильной
дроби.
7.
Представить рациональную дробь
в виде суммы целой части и правильной
дроби.
Ответы к 3 задаче аттестационной работы.
1.
=
.
2.
=
.
3. =х2+2х-1.
4.
=
.
5.
=
.
6.
=
.
7.
=2х2+5х+1+
.
ЗАНЯТИЕ 4.
Алгебраические уравнения и неравенства. Разложение на множители. Метод интервалов
Необходимые сведения из теории.
Формулы сокращенного умножения
Формулы для нахождения корней квадратного уравнения
Разложение на множители квадратного трехчлена
Целым
рациональным уравнением степени n
стандартного вида называют уравнение
=0,
где
.
Теорема 1: Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.
Теорема
2: Если
уравнение с целыми коэффициентами имеет
рациональный корень
,
где
-
несократимая дробь, то p-делитель
свободного члена а0
, a
q
это делитель аn-
коэффициента при старшей степени х.
Метод интервалов
Рациональным
неравенством называется
неравенство вида P(x) > 0 или P(x) < 0 (
или
),
а так же
где P(x) и Q(x) многочлены.
Алгоритм метода интервалов
1. Разложить многочлены p(X) и q(X) на линейные множители.
Количество множителей может быть любым, но обязательно в разностях каждого множителя x всегда является уменьшаемым и коэффициенты при переменной x должны быть положительными (канонический вид).
Если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, не четное, то знак сравнения решаемого неравенства меняется на противоположный. Но если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, четное, то знак сравнения решаемого неравенства остается тем же.
2. Найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось.
Найти все корни - значит решить уравнения P(x) = 0 и Q(x) = 0. Отметить на числовой оси корни уравнений в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.
3. Определить знак неравенства справа от большего корня.
Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Так как все множители имеют канонический вид, то над правым интервалом всегда ставится знак «+» и далее знаки чередуются.
4. Проставить знаки в остальных интервалах, учитывая чентое или нечетное число раз встречается каждый корень.
Если корень выражения имеет четную степень (например: (x - 5)2 = 0, следовательно, x = 5 - корень второй степни), то около этого корня выражение не меняет знака.
Если корень выражения имеет нечетную степень (например: (x - 5)3 = 0 , следовательно, x = 5 - корень третей степни), то переходя через этот корень выражение меняет знак.
5.Выписать ответы неравенства в виде интервалов.
Для неравенства вида P(x) > ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак "+".
Для неравенства вида P(x) < 0 ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак "-".