3. Метод Ньютона

Нехай функція ефекту в точці a менше заданої величини прибутку b, а в точці b більше. Розглянемо відрізок (а;b). Чисельне визначення для х₁ може бути знайдене за формулою:

. (2.5)

Метод Ньютона дозволяє досить швидко знаходити необхідне значення, на практиці вже друге-третє наближення задовольняє заданої точності.

Приклад

Припустимо, що функція ефективності має вигляд F(x) = х³ – 2х² – 4х – 2. Потрібно визначити обсяг виробництва, що виражений у деяких прийнятих одиницях, при якому прибуток організації складе 5 одиниць, з точністю 0,01.

1. Спосіб розподілу відрізка навпіл. Як початковий інтервал розглянемо проміжок (2,5; 5). При обсязі робіт х = 2,5 значення функції ефекту = – 8,875, що нижче необхідного значення. При х = 5 значення функції ефекту складе 53, що вище заданої величини b =5.

Відповідно до алгоритму, слід розділити відрізок навпіл і знайти значення функції ефекту в середині відрізка. Обчислюємо середину відрізка (2,5; 5) – це точка 3,75. Знаходимо значення функції ефекту F(x) при обсязі виробництва 3,75 = 7,069. На даному кроці з двох проміжків (2,5; 3,75) і (3,75; 5) слід вибрати перший, тому що F(2,5) більше 5 і F(3,75) менше 5.

Визначаємо середину відрізка (2,5;3,75) – це точка 3,125. Значення функції ефекту при такому обсязі складе F(3,125) = – 3,5136. Аналізуючи отриманий результат, переходимо до розгляду проміжку (3,125;3,75).

Чергове наближення х = 3,437. Отже, F(3,437) = 1,22. Отже будемо знаходити середину відрізка (3,437; 3,75), вона дорівнює 3,59, F(3,59) = 4,19, на наступному етапі розглянемо відрізок (3,59; 3,75). Його середина дорівнює 3,67, F(3,67) = 5,8. Довжина відрізка (3,59; 3,67), його середина 3,63, F(3,63) дорівнює 4,95. Розглянемо відрізок (3,63; 3,67), його середина 3,65, F(3,65) = 5,38. Відрізок (3,63;3,65), його величина менше 20,01. Тому середину цього відрізка можна прийняти за остаточний результат розрахунку; обсяг виробництва х = 3,64, а F(3,64) = 5,16. Результати обчислень за даним методом представлені в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

№ кроку	А	У	Х	F(а)	F(в)	F(x)
1	2,5	5	3,75	-8,875	53	7,609
2	2,5	3,75	3,125	-8,875	7,609	-3,513
3	3,125	3,75	3,437	-3,513	7,609	1,22
4	3,437	3,75	3,593	1,22	7,609	4,19
5	3,593	3,75	3,67	4,19	7,609	5,8
6	3,593	3,67	3,63	4,19	5,8	4,95
7	3,63	3,67	3,65	4,95	5,8	5,38
8	3,63	3,65	3,64	4,95	5,38	5,16

2. Метод хорд. Проведемо обчислення при тих же даних за методом хорд. Шуканий відрізок (2,5;5), перше наближення знаходимо за формулою:

Тому що метод хорд наближає шуканий обсяг виробництва, не перевищуючи його, то одразу переходимо до розрахунку другого наближення:

Інші наближення представлені в табл. 2.2.

Таблиця 2.2

№ кроку	Наближення	Відмінність від попереднього наближення
1	3,06	0,56
2	3,375	0,315
3	3,52	0,14
4	3,58	0,06
5	3,61	0,03
6	3,623	0,013
7	3,628	0,005

Останнє наближення повинне відрізнятися від попереднього не більше ніж на задану точність (у даному разі 0,01). У розрахованому випадку це сьоме наближення.

3. Метод Ньютона. Для порівняння різних методів визначення необхідного обсягу робіт застосуємо метод Ньютона в тих же випадках, що і методи, викладені вище. Для використання даного методу необхідно знайти похідну від заданої функції. У досліджуваному прикладі перша похідна має вигляд

F'(x) = 3х ² – 4х – 4.

Після обчислення похідної можна переходити до розрахунку послідовних наближень. Перше наближення має вигляд:

.

Друге наближення має вигляд

.

Наступні наближення представлені в таблиці 2.3

Таблиця 2.3

№ кроку	Наближення	Відмінність від попереднього наближення
1	4,059	0,941
2	3,69	0,369
3	3,63	0,06
4	3,631	0,001

Якщо знайдене наближення відрізняється від попередніх на величину, меншу заданої точності, то його можна подати як шуканий обсяг робіт.