§ 2.2 Физический смысл производной функции.

Если зависимость между пройденным путем s и временем t выражается уравнением

, (3)

то скорость движения в момент t определяется по формуле

(4)

Всякое уравнение вида у = f(x) независимо от физического смысла переменных х и у выражает процесс изменения переменной величины у (функции) в зависимости от изменения переменной х (аргумента). Поэтому все сказанное выше о нахождении закона изменения скорости по данному закону движения применимо к скорости изменения любой функции у = f(x) по отношению к аргументу х.

Таким образом, как это следует из выражения (4), первая производная от пути S по времени t есть скорость движения .

В этом и заключается механический или физический смысл производной. Пример 2: при нагревании тела температура его Т изменяется в зависимо­сти от времени t, т.е. Т является функцией от t: Т = f(t) .

Если обозначим повышение температуры за промежуток времени от момента t до момента t + t через T, то получим

тогда отношение

будет средней скоростью изменения температуры за промежуток времени от момента t до момента t + t, а предел этого отношения при , т.е.

,

явится выражением скорости изменения температуры Т в момент t.

2.3 Геометрический смысл производной.

Пусть кривая EF (рис. 2.1) является графиком непрерывной функции у = f(x) . Возьмем на этой кривой точку А(х, у) . Получим

ОА₁ =х, А₁А = у= f(x).

Дадим абсциссе х приращение х = А₁ В₁. Тогда наращенному значе­нию абсциссы, равному

ОВ₁ =ОА₁ +А₁В₁ =х+ х,

будет соответствовать наращенное значение ординаты, равное

B₁B = y + y = f(x + x) (5)

Из точки А проведем прямую АВ₂, параллельную оси абсцисс, и секу­щую АВ . Получим прямоугольник А₁АВ₂В₁ и прямоугольный треугольник АВВ₂.

Очевидно, АВ₂ = А₁В₁ = х и

(6)

B_lB₂=A₁A = y =f(x)

как противоположные стороны прямоугольника А₁ АВ₂ В₁. Вычитая из равенства (5) равенство (6), найдем B_lB-B_lB₂ = f(x+ х)-f(x) = y, или В₂В = у.

Обозначив угол между секущей АВ и положительным направлением оси абсцисс через , получим B₂AB = .A₁KA = .

y F

B(x+ ,y+ )

A(x,y) B₂

E

y

0 М К А₁ В₁ x

x

Рис.2.1

Тогда из прямоугольного треугольника B₂AB ,будем иметь

, или (7)

Равенство (7) показывает, что с геометрической точки зрения отношение приращения функции к приращению аргумента является тангенсом угла наклона к оси абсцисс секущей, проходящей через точки А(х, у) и B(x+ ,y+ .

При 0 точка B, перемещаясь по кривой, будет неограниченно приближаться к неподвижной точке А(х, у), секущая АВ, поворачиваясь около точки А, будет стремиться занять предельное положение, а именно по­ложение касательной AM. При этом, очевидно, угол будет стремиться к углу , образуемому касательной AM с положительным направлением оси абсцисс. Получим

(8)

С другой стороны, из равенства (8) следует, что

или (9)

Левые части равенства (8) и (9) равны между собой, следовательно , должны быть равны и правые части, т.е.

(10)

где к- угловой коэффициент касательной AM к графику функции у = f(x) в точке А(х, у) .

Итак, производная функции у = f(x) при данном значении аргумента х равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке, абсцисса которой равна х, т.е. можно сказать, что геометрически производная выражает наклон касательной в данной точке.