Примеры решения задач.

Задача №1. В урне находится 3 белых и 2 черных шара. Из неё вынима­ется наугад 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Событие, состоящее в появлении белого шара, обозначим через А. Общее число случаев, благоприятствующих событию А, т. е. m = 3. Имеем:

Ответ: вероятность появления белого шара Р (А) = 3/5.

Задача №2. В урне находится 10 белых и 6 черных шаров. Из урны нау­дачу вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в появлении 2 белых шаров. Общее число возможных случаев n, найдем по формуле числа сочета­ний из общего числа шаров, которых в урне 16, по два, т.е.

Определим число случаев m, благоприятствующих событию А:

Искомая вероятность двух белых шаров определяется равенством:

Ответ: вероятность появления двух белых Р (А) = 3/8.

Задача №3. На отдельных карточках написаны буквы а, р, к, у, ч. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последова­тельно рядом. Найти вероятность того, что получится слово «ручка».

Решение. Число всех возможных исходов испытания, т. е. n, равно в дан­ном случае числу перестановок из 5 букв: n = Р₅= 5! = 12345 = 120.

Из всех перестановок только одна образует слово «ручка», поэтому m = 1. Следовательно, искомая вероятность А будет определяться равенством:

Ответ: вероятность появления слова «ручка» равна 0,008.

Задача №4. В урне лежат шары: 10 белых, 15 черных, 20 голубых и 25 красных. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар ока­жется белым? черным? голубым? красным? И еще: черный или голубой? го­лубой или красный? белый, черный и голубой?

Решение. Число всех возможных испытаний =10+15 +20 + 25 = 70.

Вероятность

Применяем теорему сложения вероятностей, находим:

Р (б + ч) = Р (б) + Р (ч) = 1/7+3/14=5/14,

Р (г + к) = Р (г) + Р (к) = 2/7+5/14=9/14,

Р (б + ч + г) = Р (б) + Р (ч) + Р (г) = 1/7+3/14+2/7=9/14,

или Р (б + ч + г) = I - Р (к) = I - 5/14=9/14.

Ответ: вероятность появления белого шара равна I / 7, черного - 3/14, голубого - 2/7, красного - 5/14, белого или черного - 5/14, голубого или крас­ного - 9/14, белого или черного или голубого - 9/14.

Задача №5. Медицинская сестра обслуживает в палате четырех больных. Вероятность того, что в течение часа первый больной потребует внимания сестры Р(А) = 0,2; второй - Р(В) = 0,3; третий - Р(С) = 0,25; четвертый P(D) = 0,1. Найдите вероятность того, что в течение часа все больные потребуют к себе внимания сестры.

Решение. Считая требования больных независимыми друг от друга, по теореме умножения находим, что искомая вероятность

или

Ответ: вероятность того, что четыре больных в течение часа потребуют внимания медсестры Р (А) = 0,015.

Задача №6. В партии из 50 шприцев разового пользования 5 бракован­ных. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу 30 шприцев не бо­лее одного бракованного?

Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что 30 изделий выборки - качественные. Событие В-в рассматриваемой выборке из 30 изделий только одно бракованное. Событие С - не более одного бракованного. Тогда, очевидно, С = А + В. Так как событие А и В несовместимы, то по теореме сложения вероятностей имеем:

Р (С) = Р (А + В) = Р (А) + Р (В)

Поскольку вероятности событий А и В будут определяться выражениями

и

или

;

зо

50

тогда Р(С) 0,007 + 0,065 = 0,072.

Ответ: вероятность того, что из 30 отобранных шприцев один будет ис­порчен, равна 0,072.

Задача №7. В урне имеется 7 белых и 5 черных шаров, отличающиеся лишь цветом. Опыт состоит в том, что сначала вынимают не глядя один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность того, что оба вынутых шара черные?

Решение. Появление первого черного шара (событие А) имеет, очевидно,

вероятность

Если первый шар оказался черным, то условная вероятность события В -появление второго черного шара (при условии, что первый шар был черным) равна: Р(В/А)=4/11, т.к. перед выниманием второго шара осталось 11 шаров, из них 4 черных. Вероятность вынуть два черных шара подряд можно опре­делить по теореме умножения для зависимых событий — формула (16), т. е.

Ответ: вероятность того, что оба шара будут мерными равна 5/33.

Задача №8. Имеются три одинаковые на вид урны: в первой урне нахо­дятся два белых и один черный шар, во второй - три белых и один черный шар, в третьей - один белый и один чёрный. Некто выбирает одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что шар белый.

Решение. Рассмотрим три гипотезы: Н₁ - выбор первой урны, Н₂ -выбор второй урны, Н₃ - выбор третьей урны и событие А - появление бе­лого шара. Так как гипотезы (по условию задачи) равновозможны, то Р(Н₁)=Р(Н₂)=Р(Н₃)=1/3.

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

Р(А/Н₁)=2/3, Р(А/Н₂)=3/4, Р(А/Н₃)=1/2.

По формуле полной вероятности находим:

Ответ: вероятность того, что шар будет белым Р (А) =23/36.

Задача №9. Генератор УВЧ может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. Около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если генератор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время t равна 0,95; если из деталей обычного качества - его надежность равна 0,7. Генера­тор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероят­ность того, что он собран из высококачественных деталей.

Решение. Возможны две гипотезы: Н₁ - прибор собран из высококаче­ственных деталей, Н₂ - прибор собран из деталей обычного качества. Веро­ятность этих гипотез до опыта: Р(Н₁) = 0,4; Р(Н₂) = 0,6. В результате опы­та наблюдается событие А - прибор работал безотказно в течение времени t. Условная вероятность этого события при гипотезах Н₁ и Н₂ равны:

Р(А/Н₁ )=0,95; Р(А/Н₂ )=0,7

Используя формулу Байеса, находим:

Ответ: вероятность того, что генератор собран из высококачественных деталей равна 0,475

Задача № 10. Вероятность изготовления нестандартного разового шпри­ца равна 0,05. Найти вероятность того, что из 5 взятых наудачу шприцев 4 будут стандартные.

Решение. Вероятность того, что наудачу взятые шприцы будут стандарт­ные, есть р. Очевидно, р= 1 - 0,05 = 0,95, тогда q = 1 — р = 1 - 0,95 = 0,05.

Учитывая, что m = 5, а n = 4, используя формулу Бернулли, получим: или

Ответ: вероятность того, что из 5 взятых шприцев 4 будут стандартные = 0,2036