§ 4.2. Генеральная совокупность и выборка.

В теории вероятностей и математической статистке при рассмотрении вопроса о статистических аналогиях для характеристики случайных величин часто используется вместо понятия "статистическое среднее" термин "выбо­рочное среднее", а статистическая дисперсия именуется выборочной дисперсией и т.д. Происхождение этих терминов следующее. В статистке, особенно в медицинской и биологической, часто приходится исследовать распределе­ние того или иного признака для весьма большой совокупности индивидуу­мов, образующих статистический коллектив. Таким признаком может быть, например, содержание эритроцитов в крови, систолическое и диастолическое давление крови, вес или размер какого-либо органа и т.д. Данный признак является случайной величиной, значение которой от индивидуума к индиви­дууму меняется. Однако, для того, чтобы составить представление о распре­делении этой случайной величины или о ее основных характеристиках, нет необходимости обследовать каждый индивидуум данной обширной совокуп­ности (множества), а можно обследовать некоторую выборку (подмножест­во) достаточно большого объема для того, чтобы в ней были выделены суще­ственные признаки (черты) изучаемого распределения. Та обширная сово­купность элементов, из которой производится выборка, в математической статистике носит название генеральной совокупности. При этом предпола­гается, что число элементов (индивидуумов) N в генеральной совокупности весьма велико, а число элементов п в выборке ограничено. При достаточно большом N оказывается, что свойства выборочных (статистических) распре­делений и характеристик практически не зависит от N. Отсюда, естественно, вытекает математическая идеализация, состоящая в том, что генеральная со­вокупность, из которой сделана выборка, имеет бесконечный объем. При этом отличают точные характеристики (закон распределения), математи­ческое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение, относящиеся к гене­ральной совокупности от аналогичных им "выборочных" характеристик. Вы­борочные характеристики отличаются от соответствующих характеристик генеральной совокупности за счет ограниченного объема выборки п. При не­ограниченном увеличении п естественно, все выборочные характеристики приближаются (сходятся по вероятности) к соответствующим характеристи­кам генеральной совокупности.

Из изложенного ясно, что выборка с определенной степенью точности характеризует генеральную совокупность.

§ 4.3. Ряды распределения.

Предположим, что изучается некоторая случайная величина X, закон рас­пределения которой в точности неизвестен, и требуется определить этот за­кон из опыта или проверить экспериментально гипотезу о том, что величина X подчиняется тому или иному закону. С этой целью над случайной величи­ной X производится ряд независимых опытов. В каждом из этих опытов слу­чайная величина X принимает определенное значение. Совокупность наблю­даемых значений величины и представляет собой первичный статистический материал, подлежащий обработке, осмыслению и научному анализу. Такая совокупность называется простой статистической совокупностью или простым статистическим рядом. Обычно простой статистический ряд оформ­ляется в виде таблицы, в первом столбце которой стоит номер опыта, и во втором - наблюдаемое значение случайное величины X (таблица 1). Простой статистический ряд представляет собой первичную форму записи статистиче­ского материала и может быть обработана различными способами.

Таблица 4.1

№ п/п	1	2	…	N
хi	x1	x2	…	xn

Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий. Этим мы установим так называемый закон распределения случай­ной величины. Всякое соотношение, устанавливающее связь между возмож­ными значениями случайной величины и соответствующими им вероятно­стями, называют законом распределения случайной величины. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены воз­можные значения случайной величины и соответствующие им вероятности (таблица 2):

Таблица 4.2

xi	x1	x2	…	xn
Pi	P1	P2	…	Pn

Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины X. Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто используют графическое изображение. При этом по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат - вероятность этих значений. Полученные точки соединяют отрезками прямых.

p_i

p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ p₇

x_i x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x_i

Рис. 4.1. Многоугольник распределения.

Такая фигура называется многоугольником распределения или полигоном (рис.4.1). Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину, и является одной из форм закона распре­деления. При большом числе наблюдений (порядка сотен) простой статисти­ческий ряд перестает быть удобной формой записи статистического материа­ла и становится громоздким и мало наглядным. Для придания ему большей компактности и наглядности статистический материал подвергается дополни­тельной обработке и строится статистический ряд.

Предположим, что результаты наблюдений над непрерывной случайной величиной X, оформлены в виде простого статистического ряда. Разделим весь диапазон полученных значений случайной величины Х на интервалы или разряды, число которых определяется выражением:

(4.1)

де п - число полных испытаний (или измерений).

Ширина или шаг , каждого интервала определяется соотношением:

(4.2)

где и - границы всего диапазона случайной величины Х.

Допустим что = , тогда

(4.3)

Следовательно, границы каждого интервала (разряда) находятся как

(4.4)

Среднее значение случайной величины в каждом интервале (разряде) бу­дет определяться выражением:

(4.5)

Подсчитаем количество значений , приходящихся на каждый разряд. Это число разделим на общее число наблюдений (измерений) и найдем стати­стическую вероятность, соответствующую данному разряду:

(4.6)

Сумма статистической вероятности всех разрядов, очевидно, должна быть равна единице. Построим таблицу, в которой приведены разряды в по­рядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие им частоты. Эта таблица называется статистическим рядом.

Таблица 4.3

			…
			…

x

Рис. 4.2. Гистограмма случайной величины х.

Поскольку случайные величины в нем расположены по возрастающей линии, то такой ряд часто называют статистическим ранжированным ря­дом. Для большей наглядности статистический ряд часто оформляется в виде так называемой гистограммы (Рис. 4.2). Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются разряды, и на каждом основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. Для построения гистограммы нужно частоту (статистическую вероятность) каждого разряда разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине разрядов высота прямо­угольников пропорциональна соответствующим частотам. Из способа по­строения гистограммы следует, что полная ее площадь равна единице.