Модифікації методу Ейлера

З метою підвищення точності методу Ейлера використовують різні його модифікації.

Суть удосконаленого методу Ейлера полягає в використанні ітераційної формули виду:

,          (14)

де - значення аргументу х в точці , а - значення функції в точці .

Розглянемо диференціальне рівняння

          (15)

з початковою умовою .

Потрібно знайти розв’язок рівняння (11) на відрізку .

Розіб'ємо відрізок на n рівних частин точками , де – крок інтегрування

Алгоритм методу складається з:

1. визначення похідної в точці :

2. змінна х за формулою:

3. визначення значення при

4. визначення похідної в точці ( , )

5. використовуємо отримане значення для визначення за формулою:

,

6 . змінюємо

7. повторюємо всі кроки алгоритму, починаючи з першого.

    

Оцінка похибки в точці x_і може бути отримана за допомогою "подвійного прорахунку": розрахунок повторюють із кроком h/2 похибка більш точного значення (при кроці h/2) оцінюють приблизно в такий спосіб:

                (16)

де у(х) - точний розв’язок диференціального рівняння. Удосконалений метод Ейлера є більш точним у порівнянні з методом Ейлера та відноситься до методів 3-го порядку точності.

Модифікований метод Ейлера заснований на використанні ітераційної формули виду:

               (17)

Алгоритм методу включає наступні кроки:

1. визначення похідної в точці :

2. зміна незалежної змінної х за формулою:

3. визначення проміжного значення за формулою методу Ейлера

4. визначення проміжної похідної в точці

5. визначення середньо арифметичного значення двох похідних

6. визначення у₁ за формулою

ітераційний процес повторюється, починаючи з першого кроку.

Удосконалений метод Ейлера - Коші з наступною ітераційною обробкою. Метод Ейлера - Коші з ітераційною обробкою є більш точним, чим, раніше розглянутий метод Ейлера - Коші. Сутність його полягає в тім, що виробляється ітераційна обробка кожного знайденого значення y_і. Спочатку вибирається грубе наближення потім будується ітераційний процес:

               (18)

Ітерації продовжуються доти, поки два послідовних наближення не збіжаться до заданої похибки. Після цього приймається . Якщо після трьох-чотирьох ітерацій, при обраному значенні h, збігу потрібних знаків не відбувається, то варто зменшити крок розрахунку h.

Метод Рунге–Кутта

Метод Рунге-Кутта є одним з методів підвищеної точності, але має багато загального з методом Ейлера.

Нехай на відрізку потрібно знайти чисельний розв’язок рівняння

          (19)

з початковою умовою .

Розіб'ємо відрізок на п рівних частин точками , де - крок інтегрування. В методі Рунге-Кутта, так само й у методі Ейлера, послідовні значення y_і шуканої функції у визначаються по формулі                (20)

Якщо розкласти функцію в у ряд Тейлора й обмежитися членами до h₄ включно, то збільшення функції у можна представити у вигляді

          (21)

де похідні визначаються послідовним диференціюванням з рівняння (2).

Замість безпосередніх обчислень по формулі (21) у методі Рунге-Кутта визначаються чотири числа:

          (22)

Можна довести, що якщо числам k₁, k₂, k₃, k₄ додати відповідно вагу 1/6; 1/3; 1/3; 1/6, те середньозважене цих чисел, тобто

          (23)

з точністю до четвертих ступенів дорівнює значенню у, обчисленому по формулі (9.23):

          (24)

Таким чином, для кожної пари поточних значень x_і і y_і по формулах (9.24) визначаються значення

По формулі (24) знаходиться

          (25)

і потім

Числа k₁, k₂, k₃, k₄ мають простий геометричний зміст. Нехай крива M₀CM₁ являє собою розв’язок диференціального рівняння (20) з початковою умовою (21). Точка С цієї кривої лежить на прямій, рівнобіжній осі Оу і розділяючою відрізок навпіл, В и G - точки перетинання дотичної, проведеної до кривої в точці М₀, з ординатами АС і N₁M₁,. Тоді число k₁ з точністю до множника h (де ) є кутовий

коефіцієнт дотичної в точці М₀ до інтегральної кривої M₀CM₁ тобто

Точка В має координати , . Отже число k2 з точністю до множника є кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до ін тегральної кривої в точці В (BF - відрізок цієї дотичної).     

Через точку М₀ проведемо пряму, рівнобіжну відрізку BF. Тоді точка D має координати і k₃ з точністю до множника h - кутовий коефіцієнт дотичної, перевіреної до інтегральної кривої в точці D (DR₁ - відрізок цієї дотичної). Нарешті, через точку М₀ проведемо пряму, рівнобіжну DR₁, що перетне продовження M₁N₁ у точці .

Тоді k₄ з точністю до множника h є кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до інтегральної кривої в точці R₂.

Обчислення по методу Рунге-Кутта зручно розташовувати за алгоритмом,

1. Значення х₀ и у₀ підставляють у праву частину диференціального рівняння (9.21), визначають .

2. Отримане значення множать на крок інтегрування h, обчислюють .

3. Змінюють значення х₀

4. визначають допоміжне значення

5. визначення похідної в точці ( , )

6. визначають значення k₂

7 . визначають нове допоміжне значення

8. визначення похідної в точці ( , )

9. визначають значення k₃

10. визначають нове значення допоміжного у_1д

11. змінюють значення

12. визначають допоміжну похідну в точці ( )

13. визначають значення k₄

14. визначають нове значення у₁ за формулою

Для визначення повторюють ітераційний процес, починаючи з першого кроку.

    

Схема алгоритму метода Рунге – Кутта

Потім всі обчислення повторюють починаючи з І кроку, доти, поки не буде пройдений весь відрізок .

Метод Рунге - Кутта має порядок точності h⁴ на усьому відрізку . Оцінка точності методу цього дуже складна. Грубу оцінку погрішності можна одержати за допомогою "подвійного прорахунку" по формулі

               (26)

де - значення точного розв’язку рівняння (19) у точці наближені значення, отримані з кроком h/2 і h. Якщо - задана точність розв’язку, то число п (число розподілів) для визначення кроку інтегрування вибирається таким чином, щоб

          (27)

Однак крок розрахунку можна змінювати при переході від однієї точки до іншої.

Для оцінки правильності вибору кроку h використовують рівність

          (28)

де q повинно бути дорівнює декільком сотим, у противному випадку крок h зменшують.

Нехай задана система диференціальних рівнянь першого порядку:      (29)

У цьому випадку паралельно визначаються числа

          (30)

          (31)

Тоді одержимо розв’язок системи диференційних рівнянь другого порядку:

Отже,

і остаточно одержуємо значення шуканих функцій у точці х = 0,6: