Метод січних (хорд).

Нехай дано рівняння , де – неперервна функція, що має на відрізку неперервні похідні першого і другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку, причому тобто корінь рівняння відокремлений на .

Ідея методу хорд полягає в тому, що на досить малому відрізку дуга кривої замінюється хордою і абсциса точки перетину цієї хорди з віссю є наближеним значенням шуканого кореня.

Можливі чотири випадки розміщення графіка.

Розглянемо випадки, коли . Нехай, зокрема, , , , . Графік функції проходить через точки , . Шуканий корінь рівняння є абсциса точки перетину графіка функції з віссю абсцис. Ця точка нам невідома, але замість неї візьмемо точку перетину хорди з віссю . Це й буде наближене значення кореня. Рівняння хорди, що проходить через точки і , має вигляд . Знайдемо значення , для якого : . Ця формула має назву формули методу хорд. Тепер корінь . Застосуємо метод хорд до . З’єднаємо точку з точкою і знайдемо – точку перетину хорди з віссю : . Продовжуючи цей процес, маємо

.

(1)

Процес продовжується, доки не отримаємо наближений корінь із заданим ступенем точності.

За наведеними формулами обчислюються корені при , , , .

Р озглянемо випадок, коли .

Нехай,зокрема, , , , .

З’єднаємо точки і та запишемо рівняння хорди, що проходить через точки і :

.

Знайдемо як точку перетину хорди з віссю , покладаючи : . Корінь . Застосуємо метод хорд до цього відрізку . У загальному випадку маємо

.

(2)

За цими ж формулами знаходяться наближені значення кореня для випадку , , , .

Отже, якщо , то використовується формула (1).

Якщо , то використовується формула (2).

Правило. Нерухомим кінцем відрізка є той, для якого знак функції співпадає зі знаком другої похідної. Тобто метод хорд можна записати так:

, де .

Метод Ньютона. Для коректного використання даного методу необхідно, відповідно до теореми визначити поведінку першої і другої похідної функції f(x) на інтервалі уточнення кореня і правильно вибрати початкове наближення x⁽⁰⁾.

Для функції f(x) = e^2x+3x–4 = 0 маємо: F'(x) = 2e^2x +3, f''(x) = 4e^2x – додатні у всій області визначення функції. Як початкове наближення можна вибрати праву межу інтервалу x⁽⁰⁾=0,6 для якої виконується нерівність (2.3): f'(0,6)f''(0,6)>0 Подальші обчислення проводяться по формулі (2.2) , де f(x^{( k )}) = , f'(x^{( k )}) = .

Ітерації завершуються при виконанні умови

Результати обчислень містяться в таблиці :

k	x(k)	f(x(k))	f'(x(k))	- f(x(k))/ f'(x(k))
0	0.6000	1.1201	9.6402	-0.1162
1	0.4838	0.0831	8.2633	-0.0101
2	0.4738	0.0005	8.1585	-0.0001
3	[0.4737]

x^(*) = 0,474

Метод простої ітерації. Рівняння (2.7) можна записати у вигляді

(2.8) або (2.9).

З двох цих варіантів прийнятним є варіант (2.9), оскільки, узявши за основний інтервал (0,4;0,55) і поклавши , матимемо:

1.

1. . Звідси, на інтервалі (0,4;0,55)

Умови теореми виконані.

Як початкове наближення покладемо x⁽⁰⁾ = (0,4 + 0,55)/2 = 0,475.

Обчислюємо послідовні наближення x(k) з одним запасним знаком по формулі .

Відповідно до (7) досягнення необхідної точності контролюється умовою

Результати обчислень приведені в таблиці 2.3. Таблиця 2.3

k	x(k)
0	0.4750	0.4729
1	0.4729	0.4741
2	0.4741	0.4734
3	0.4734	0.4738
4	[0.4738]

x(*)=0,474

Зауваження. Якщо безпосереднє перетворення рівняння (2.1) до вигляду (2.4), не дозволяє одержати рівняння, для якого виконуються умови збіжності методу простої ітерації, можна перетворити рівняння (2.1) до наступного еквівалентного рівняння

Дане рівняння має вигляд (2.4) з . Тут λ- параметр, який підбирається так, щоб в потрібній області виконувалася нерівність