Метод Зейделя.

Метод Зейделя представляє собою деяку модифікацію методу ітерацій. Основна його ідея полягає в тому, що при обчисленні (k + 1)-го наближення невідомої xi враховуються вже обчислені раніше (k + 1)-е наближення невідомих x₁, x₂, …, x_i – 1

Нехай отримана еквівалентна система (1).

(1)

Виберемо довільно початкові наближення коренів . Далі, припускаючи, що k-ті наближення коренів відомі, згідно Зейделя будемо будувати (k + 1)-е наближення коренів за формулами:

(2)

Зауважимо, що зазначені вище умови збіжності для простої ітерації залишається вірною для ітерації за методом Зейделя. Зазвичай метод Зейделя дає кращу збіжність, ніж метод простої ітерації, але призводить до більш громіздким обчислень. Приклад. Методом Зейделя розв’язати систему рівнянь

Приведемо цю систему до вигляду, зручного для ітерації:

Як нульові наближення коренів візьмемо:

:

Результати обчислень з точністю до чотирьох знаків наведені в Таблиці 2. 

i
0	1,2000	0,0000	0,000
1	1,2000	1,0600	0,9480
2	0,9992	1,0054	0,9991
3	0,9996	1,0001	1,0001
4	1,000	1,000	1,000
5	1,000	1,000	1,000

Точные значения корней: х₁ = 1; х₂ = 1; х₃ = 1.

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Теорема (Кронекера – Капелі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

Доведення. Будемо розглядати систему лінійних рівнянь.

Цю систему можна переписати так.

.

Позначимо вектор-стовпчики:

, , .

Тоді система переписується у векторному вигляді.

x₁a₁+x₂a₂+…+x_na_n=b.

Доведемо необхідність. Припустимо, що система сумісна і числа λ₁,λ₂,…,λ_n утворюють розв’язок системи. Тоді виконується рівність

λ₁a₁+ λ₂a₂+…+ λ_na_n=b..

Звідси випливає, що вектор b лінійно виражається через систему векторів a₁,a₂,…,a_n. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a₁,a₂,…,a_n, вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a₁,a₂,…,a_n,b. Оскільки вектор b лінійно виражається через a₁,a₂,…,a_n, за теоремою 2 (про ранг), ранги системи векторів a₁,a₂,…,a_n і a₁,a₂,…,a_n,b співпадають. Отже, ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні.

Доведемо достатність. Припустимо, що ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні. Це означає, що співпадають ранги системи векторів a₁,a₂,…,a_n і a₁,a₂,…,a_n,b. Припустимо, що ці ранги дорівнюють s, і нехай, для визначеності, вектори a₁,a₂,…,a_s утворюють базис системи векторів a₁,a₂,…,a_n. Розглянемо систему векторів a₁,a₂,…,a_s,b. Ця система є підсистемою системи векторів a₁,a₂,…,a_n,b, яка складається з s+1 векторів. Оскільки, за припущенням, ранг системи векторів a₁,a₂,…,a_n,b дорівнює s, то система a₁,a₂,…,a_s,b лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація γ₁a₁+ γ₂a₂+…+ γ_sa_s+ γb= θ.

Якщо в цій комбінації γ=0, одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a₁,a₂,…,a_s, рівну θ. Це суперечить тому, що вектори a₁,a₂,…,a_s утворюють базис системи векторів, тобто лінійно незалежні. Отже, γ≠0. Тоді вектор b лінійно виражається через a₁,a₂,…,a_s:

b= λ₁a₁+ λ₂a₂+…+ λ_sa_s= λ₁a₁+ λ₂a₂+…+ λ_sa_s+0a_s+1+…+0a_n.

.Розглянемо цю рівність в координатній формі:

----------------------------------------------

Таким чином, одержуємо, що вектор

x=( λ₁, λ₂,…+ λ_s,0,…0)

утворює розв’язок системи лінійних рівнянь, отже, система сумісна.

Теорему доведено.