Тема 1.1. Розв’язування нелінійних рівнянь

Метод простих ітерацій: теорема про збіжність ітераційного процесу, геометрична

інтерпретація методу.

Оцінка похибки методу. Метод Ньютона: ітераційна формула методу, теорема про обчислення єдиного кореня з будь-яким степенем точності.

Модифікований метод Ньютона.

Метод січних: ітераційна формула узагальненого методу хорд, узагальнена формула методу. Метод хорд та дотичних (комбінований): ітераційні формули комбінованого методу, геометрична інтерпретація

В результаті вивчення теми студенти повинні:

Знати – алгоритм методу ітерацій, методу Ньютона, модифікованого методу Ньютону, метод січних, комбінованого методу хорд та дотичних.

Вміти – знаходити корені нелінійних рівнянь методами ітерацій, Ньютона, модифікованим методом Ньютону, методом січних, комбінованим методом хорд та дотичних.

Завдання:

1. Опрацювати теоретичний матеріал, наведений в методичці, а знайти відповідний теоретичний матеріал в підручнику Самарський А.А., Гулин А.В. Численные методы. (папка «Підручники»), стор. 190-207.

2. Коссак О., Тумашова О., Коссак О. – Методи наближених обчислень: Навчальний посібник, 16-24

3. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов, стор. 356-358

4. Вычислительная математика: Учебное пособие для техникумов/ Данилина Н.И., Дубровецкая Н.С., Кваша О.П., Смирнов Г.Л., стор. 182-186

5. Розв’язати рівняння з методички «Тестові завдання.doc»

6. Дати відповіді на питання:

1. Які рівняння відносяться до нелінійних?

2. Які рівняння відносяться до трансцендентних?

3. Що є розв‘язком нелінійного рівняння?

4. В чому суть алгоритму методу хорд? Дайте геометричну інтерпретацію цього методу.

5. Графічна інтерпретація методу хорд та основні формули методу.

6. В чому суть алгоритму методу січних? Дайте геометричну інтерпретацію цього методу.

7. Графічна інтерпретація методу січних та основні формули методу.

8. В чому суть алгоритму комбінованого методу? Дайте геометричну інтерпретацію методу.

9. Графічна інтерпретація комбінованого методу та основні формули.

10. В чому суть алгоритму автоматизації пошуку рухомого кінця хорди?

11. В чому суть алгоритму автоматизації пошуку рухомого кінця січної?

12. Покажіть особливості методу ітерацій та його обмеження.

13. Графічна інтерпретація методу ітерацій та основні формули методу.

Метод простих ітерацій: теорема про збіжність ітераційного процесу, геометрична інтерпретація методу. Оцінка похибки методу. Метод Ньютона: ітераційна формула методу, теорема про обчислення єдиного кореня з будь-яким степенем точності.

Модифікований метод Ньютона.

Метод січних: ітераційна формула узагальненого методу хорд, узагальнена

формула методу. Метод хорд та дотичних (комбінований): ітераційні формули

комбінованого методу, геометрична інтерпретація

Метод простої ітерації

Для застосування цього методу рівняння f(x) = 0 представляється у вигляді (1)

Виберемо за початкове наближення кореня значення і підставимо в праву частину рівняння (1). Одержимо деяке число (2)

Підставляючи в праву частину рівності (2) замість х₀ значення х₁ одержимо нове число

Повторний процес буде мати наступну послідовність .

Якщо ця послідовнясть збіжна, то границя цієї послідовності – корінь рівняння f(x) = 0 і може бути обчислений з будь-якою точністю.

Геометрично метод ітерації можна пояснити наступним чином. Побудуємо на площині хоу графіки функцій у = х і . Відштовхуючись від деякої точки будуємо ламану лінію А₀В₁А₁В₂… («сходинки») , вершини яких обов’язково паралельні осі х і у , вершини А₀А₁А₂ лежать на кривій , а вершини В₁В₂…– на прямій у = х.

Теорема. Про збіжність методу ітерації.

Якщо для всіх виконується нерівність (3)

то на проміжку [a, b] рівняння має єдиний корінь і процес ітерації збігається до цього кореня незалежно від вибору початкового наближення .

Приклад. Методом ітерації знайти додатній корінь рівняння х³ – 5х + 1 = 0 на відрізку [0; 0,5], ще два корені на відрізку [–3; –2], [2, 3]. Корінь знаходиться на відрізку [0; 0,5].