Метод прогонки

Якщо звичайне диференціальне рівняння (ЗДР) 2-го порядку розв’язати методом скінченних різниць, то початкове ЗДР зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь з тридіагональною матрицею коефіцієнтів, тобто такою, що кожне рівняння системи має три сусідні невідомі:

          (10.11)

Для розв’язання такої системи розроблено спеціальний метод – прогонки. Розглянемо лінійне диференціальне рівняння другого порядку

          (10.12)

з двоточковими граничними умовами:

          (10.13)

     ; ,      (10.14)

де функції , , неперервні на .

Прийдемо до скінченнорізницевого рівняння

; ; ; ;

     .          (10.15)

Підставляючи вираз (10.15) у початкове ЗДР (10.12), отримаємо для внутрішніх точок систему скінченнорізницевих рівнянь:

          .     (10.16)

Після деяких перетворень (10.16) матимемо

     ;          (10.17)

де

     ; ; .     (10.18)

Для похідних на кінцях відрізка інтегрування і знаходимо скінченнорізницеві рівняння виду

     ;          (10.19)

і, підставляючи їх у граничні умови (10.13) і (10.14), отримаємо два рівняння:

               (10.20)

Система рівнянь (10.17), (10.20) відносно невідомих являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь з три діагональною матрицею коефіцієнтів. Цю систему зручно розв’язати методом прогонки.

Розглянемо суть цього методу.

1. Представимо рівняння (10.17) відносно :

     .          (10.21)

2. Допустимо, що за допомогою рівнянь (10.20) і (10.21) виключена складова , тоді рівняння будуть мати вигляд

          (10.22)

де – деякі коефіцієнти.

3. За аналогією з (10.22) представимо у вигляді

          (10.23)

і, підставляючи його в (10.17), матимемо

          (10.24)

і, отже,

     .     (10.25)

4. Порівнюючи вирази (10.22) та (10.25), отримуємо рекурентні формули для визначення коефіцієнтів , вигляду

     ; , .     (10.26)

5. Для визначення виразу для та використовуємо рівняння (10.20) та (10.22):

     ;     (10.27) та .     (10.28)

Порівнюючи останні дві нерівності, знаходимо:      ;     .     (10.29)

На основі формул (10.17) та (10.29) послідовно визначаємо коефіцієнти до і включно. Процес знаходження коефіцієнтів називають прямим ходом методу прогонки.

Зворотній хід методу прогонки починається з визначення . Використовуючи другу граничну умову (10.20) та формулу (10.22), отримуємо систему з двох рівнянь:

          (10.30)

Розв’язуючи цю систему відносно , отримаємо:      .     (10.31)

Тепер за формулою (10.22) послідовно знаходимо розв’язок початкового ЗДР:

Таким чином, метод прогонки достатньо простий, легко алгоритмізується та включає прямий та зворотній хід. Причому:

1) прямий хід полягає в знаходженні коефіцієнтів за рекурентними формулами (10.26);

2) зворотній хід полягає у знаходженні розв’язку початкового ЗДР за формулою (10.22).

Схему алгоритму методу прогонки показано на рис. 10.1.

    

Розділ 7. Наближене обчислення диференціальних рівнянь. Тема 7.3. Наближене розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними

Метод сіток розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь гіперболічного типу.

Метод кінцевих різниць.

Різницеві схеми для розв’язання рівняння теплопровідності, коливання струни.

В результаті вивчення теми студенти повинні:

Знати – суть методу сіток розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь гіперболічного типу, метод кінцевих різниць, різницеві схеми для розв’язання рівняння теплопровідності, коливання струни.

Вміти – розв’язувати крайові задачі для диференціальних рівнянь гіперболічного типу, використовувати на практиці метод кінцевих різниць, різницеві схеми для розв’язання рівняння теплопровідності, коливання струни.

Завдання:

1. Опрацювати теоретичний матеріал, наведений в методичці, а знайти відповідний теоретичний матеріал в підручниках Коссак О. Методи наближених числень стор.108-118, Калиткин М.М. Численные методы. (папка «Підручники»), стор. 266.

2. Дати відповіді на питання:

1. Які рівняння відносять до рівнянь у частинних похідних?

2. Що таке дискримінант?

3. Класифікація рівнянь у частинних похідних.

4. Особливості трактування задачі розв'язання рівнянь в частинних похідних на ЕОМ.

5. Що таке дискримінант рівняння?

6. Що таке змішана задача

7. Різницеві схеми для розв'язування гіперболічного рівняння на ЕОМ.

8. Особливість алгоритму розв'язання гіперболічного рівняння на ЕОМ.

9. Що таке збижність методу?

10. Від чого залежить збижність методів розв'язання еліптичного, гіперболічного та параболічного рівнянь?

Етапи чисельного розв'язування диференційних рівнянь (ДР) у частинних похідних на ЕОМ

1. У область розв'язування рівняння, яке розглядається, вводять рівномірну сітку вузлових точок відповідно до характеру задачі і граничних умов.

2. Диференційне рівняння, що розв'язується, записують у найзручнішій системі координат, замінюючи похідні кінцевими різницями (із таб. 11.1), приводять його до вигляду різницевого рівняння. Отримане різницеве рівняння використовують далі для описування функціонального зв'язку між сусідніми вузлами сітки. Тобто різницеве рівняння записують для усіх вузлів сітки і отримують внаслідок цього систему (N-1)(M-1) рівнянь з (N-1)(M-1) невідомими.

3. Систему (N-1)(M-1) рівнянь з (N-1)(M-1) невідомими розв'язують одним із відомих швидких і ефективних чисельних методів, вибір яких визначається деякими властивостями системи рівнянь (наприклад, система лінійних або налінійних рівнянь та ін.).

Р ізницева схема геометрично ілюструє різницеву апроксимацію диференціального рівняння. Відомо, що при і різницеве рівняння наближується до диференційного рівняння. Однак цікавить зовсім інше питання: чи наближається при і розв’язок різницевого рівняння до розв’язку диференційного рівняння? Для еліптичних рівнянь на це питання можна дати позитивну відповідь. Далі побачимо що у випадку параболічних і гіперболічних рівнянь прийдеться дотримуватись ряду обмежень, що забезпечать такого роду збіжність.