§ 2. Детермінант матриці

Для розв’язання багатьох задач математики та фізики використовують поняття детермінант (або визначник) квадратної матриці. Детермінінт матриці позначається або стисло, як , або у розгорнутому вигляді – прямими рисками по боках цієї матриці, тобто

1.31. Означення. Детермінант квадратної матриці – це число або символ, які ставляться у відповідність цій матриці й можуть бути знайдені за такими правилами:

1. детермінант матриці порядку 1 (яка складається лише з одного елемента ) дорівнює елементу цієї матриці, тобто ;

2. детермінант матриці порядку визначаються як елементи матриці таким чином:

, (1.17)

де – детермінант матриці порядку , яка отримується шляхом видалення (викреслення) з матриці А її першого рядка та k-го стовпчика.

Детермінант називають доповняльним мінором елемента вихідної квадратної матриці . Аналогічно можна визначити довільного елемента як детермінант матриці порядку , яка отримана з вихідної матриці А шляхом викреслення того рядка й того стовпчика, у яких розташовано елемент , тобто -го рядка та -го стовпчика.

1.32. Приклад. Користуючись означенням 1.32 знайдемо визначники матриць Паулі:

1.33. Зауваження. Формулу (1.17) за допомогою якої було означено поняття детермінанта, називають розкладом детермінанта за елементами першого рядка.

1.34. Властивість. Для визначника кожної квадратної матриці А порядку n справедлива рівність

, (1.18)

яка називається розкладом детермінанта за елементами першого стовпчика.

& Для доведення скористаємось методом математичної індукції. Розглянемо визначник матриці другого порядку:

Вважаючи справедливою рівність

,

де А – матриця порядку , отримаємо з неї співвідношення (1.18). Для цього скористаємося з означення (1.17) детермінанта матриці порядку n, відокремивши в сумі перший доданок:

При будь-якому матриця, яка отримується з матриці А порядку n викреслюванням першого рядка і k-го стовпчика, містить увесь перший стовпчик матриці А, за винятком елемента . Роз­кладемо за елементами цього стовпчика, врахувавши, що i-й рядок матриці А входить до мінора під номером , оскільки до цього мінора не увійшов перший рядок цієї матриці. Тому при отримуємо

де – детермінант матриці порядку , яка отримується з матриці, що відповідає мінору , шляхом викреслення -го рядка та 1-го стовпчика, або, що те саме, шляхом викреслення з матриці 1-го та к-го рядків разом з 1-м і k-м стовпчиками. Завдяки цьому справедлива рівність:

Змінимо порядок підсумовування і винесемо незалежний від k множник за знак суми, що стоїть у дужках:

.

В останній формулі врахуємо, що , оскільки матриця , детермінантом якої є , відрізняється від матриці А . Різниця полягає в тому, що в пропущено перший стовпчик матриці А і всі номери стовпчиків зменшені на одиницю. Таким чином,

,

що й треба було довести.%

1.35. Властивість. Для будь-якої квадратної матриці .

& Для доведення знову скористаємось методом математичної індукції. Для матриць другого порядку маємо:

,

.

Вважаємо, що справджується рівність . Тоді, виходячи з означення 1.31 визначника матриці і властивості 1.34 визначника транспонованої матриці , запишемо

, ,

де – елементи першого стовпчика транспонованої матриці, тобто , а – доповняльні мінори цих елементів. Враховуючи, що , доходимо висновку, що . %

1.36. Наслідок. Із властивості 1.35. випливає рівноправність рядків і стовпчиків: якщо справедливе яке-небудь твердження про детермінанти, яке стосується рядків відповідної матриці, то справедливе й аналогічне твердження, яке стосується стовпчиків. Звідси такі властивості достатньо довести лише для рядків.

1.37. Властивість. Якщо у квадратній матриці поміняти місцями які-небудь два рядки (стовпчики), то детермінант матриці змінить знак, не змінившись за абсолютною величиною.

Використовуємо для доведення метод математичної індукції. Для маємо:

Припустимо, що твердження справедливе для матриць порядку і доведено його для матриць порядку n.

Нехай два рядки, які переставлені один з одним, стоять у вихідній матриці поруч і мають номери і . Запишемо розклад визначника за першим стовпчиком (вираз (1.18)), відокремивши в ньому два доданки, які відповідають переставленим рядкам:

.

Аналогічно для матриці В, яка отримується з матриці А шляхом переставлення в останній k–го та рядків, справджується рівність

,

де – доповняльні мінори елементів матриці .

Якщо , то до та входять ?!рядки та ?! /не розумію/^{Віктор Л.} але в різному порядку, а всі інші їх рядки однакові. Отже, згідно з припущенням індукції , коли . Матриці, детермінанти яких позначено та – однакові, оскільки вони отримані викресленням -го рядка з матриці В або, що те саме, k-го рядка матриці А. Тому й самі детермінанти однакові, тобто . Аналогічно . Таким чином, порівняння визначників і показує, що вони рівні за абсолютною величиною й відрізняються за знаком.

Нехай тепер у матриці А порядку n переставлено рядки з номером і та j, причому . Перестановлення і-го та j-го рядків можна провести, переставляючи лише сусідні рядки: спочатку j-й рядок послідовно переставляємо з усіма рядками, які стоять між ним та і-м рядком (зробивши переставлень), потім і-й рядок переставляємо на j-те місце міняючи місцем з рядками, розташованими нижче від нього. Усього буде зроблено непарну кількість переставлень сусідніх рядків. Оскільки при кожному переставленні з перестановок детермінант змінює знак, то в результаті знак де термі­нанта зміниться.

1.38. Зауваження. Властивість 1.37 називають антисиметрією детермінанта відносно перестановок рядків (стовпчиків). Використовучи властивість антисиметрії детермінанта можна довести ще низку його властивостей.

1.39. Властивість. Для кожної квадратної матриці А порядку n справджуються співвідношення

(1.19)

(1.20)

& Очевидно, що коли , то співвідношення (1.19) є означенням детермінанта. Доведемо це співвідношення для значень . Із цією метою переставимо і-й рядок на перше місце так, щоб не порушувати порядок інших рядків, а саме, переставляючи і-й рядок послідовно з усіма рядками, розташованими вище нього. Вище і-го рядка розташований рядок, тому, якщо В – матриця, отримана з матриці шляхом перестановки і-го рядка на місце першого, то .

Розкладемо за першим рядком матриці В, тобто і-м рядком матриці :

,

де – визначник матриці, яка отримується з матриці В викреслюванням першого рядка та k-го стовпчика або, що те саме – з матриці А викреслюванням і-го рядка і k-го стовпчика. Тому . Враховуючи, що , отримаємо .%

1.40. Властивість. Якщо і-й стовпчик (рядок) матриці А є лінійною комбінацією стовпчиків (рядків) і , тобто має вигляд де і – довільні числа, то справджується рівність , у якій матриці та отримуються з матриці А заміною її і-го стовпчика на стовпчики та , відповідно.

( Властивість 1.40 називають лінійністю детермінанта за його стовпчиками (рядками).

& Для доведення даної властивості розкладемо визначник за і-м стовпчиком і врахуємо, що , тобто запишемо

що й треба було довести. %

1.41. Зауваження. Властивість лінійності детермінанта за його стовпчиками можна сформулювати у вигляді двох окремих властивостей, а саме:

а) при множенні стовпчика матриці на число її детермінант множиться на це число;

б) якщо стовпчик матриці є сумою двох стовпчиків, то її детермінант є сумою детермінантів відповідних матриць.

1.42. Властивість. Якщо матриці-стовпчики (рядки) А лінійно залежні, то її визначник дорівнює нулю.

& Насамперед зауважимо, що якщо в матрицю входить нульовий рядок або нульовий стовпчик, то її визначник з очевидністю дорівнює нулю. Крім цього, із властивості антисиметрії визначника випливає, що коли матриця містить два однакових рядки або стовпчики, то її визначник також дорівнює нулю. Якщо рядки матриці лінійно залежні, то хоча б один рядок (нехай це буде і-й рядок) цієї матриці є лінійною комбінацією інших її рядків, тобто справджується така рівність:

.

Тоді, розкладаючи визначник матриці А за і-м рядком і використовуючи властивість 1.39, отримуємо:

де – матриця, у якій на місці і-го рядка розташований k-й рядок матриці А, який відрізняється від і-го рядка. Отже, кожна матриця містить два однакові рядки, тому визначники всіх цих матриць дорівнюють нулю, а тому, %