§ 6. Елементарні перетворення як множення матриць. Детермінант добутку матриць

1.72. Теорема. Кожне елементарне перетворення рядків матриці А розміром рівносильно множенню матриці А зліва на деяку квадратну матрицю порядку m.

& Розглянемо квадратну матрицю , яка отримується з одиничної матриці порядку перестановкою і-го та j-го рядків. Очевидно, що при множенні матриці розміром зліва на відповідні рядки матриці А переставляться.

Нехай – матриця, яка отримується з тієї самої одиничної матриці заміною і-ї одиниці на діагоналі на число . При множенні матриці А зліва на і-й рядок матриці А помножиться на .

Позначимо через матрицю, яка отримується з одиничної матриці заміною на одиницю нульового елемента, розташованого на перетині і-го рядка та j-го стовпчика. Множення матриці А зліва на матрицю рівносильне додаванню j-го рядка матриці А до і-го рядка. Зауважимо, що , i відмінні від нуля: , , . Матриці , і називають матрицями елементарних перетворень. Якщо матриця А квадратна, то , , . Отже, у цьому випадку для матриць елементарних перетворень справедливо .%

Послідовному виконанню елементарних перетворень рядків матриці відповідає множення зліва на добуток відповідних матриць елементарних перетворень. Елементарні перетворення стовпчиків можна довести, домножуючи матрицю А справа на аналогічні матриці.

1.73. Припущення. Якщо , то знайдуться матриці елементарних перетворень такі, що .

Якщо , то існує. Оскільки , то елементарними перетвореннями рядків матриця може бути перетворена на одиничну матрицю, тобто знайдуться такі , для яких . Очевидно, що .

1.74. Зауваження. Існування оберненої матриці для кожної невиродженої матриці буде доведено в наступному параграфі.

1.75. Припущення. Для будь-яких квадратних матриць А і В одного порядку .

& Справді, у випадку твердження випливає з оцінки рангу добутку матриць. Якщо , то

→

в силу .%

§ 7. Система лінійних алгебраїчних рівнянь

1.76. Означення. Системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) називають систему m рівнянь відносно n невідомих , такого виду:

СЛАР можна записати у більш компактному вигляді за допомогою операції множення матриць. Нехай

	– матриця, елементи якої є коефіцієнтами при невідомих у заданій СЛАР і яку називають митрицею системи,
	– стовпчик вільних членів,
	– стовпчик невідомих. Тоді СЛАР можна записати як .
Матриця системи, доповнена стовпчиком вільних членів, називається розширеною матрицею системи й позначається

Якщо вільні члени всіх рівнянь дорівнюють нулю, система називається однорідною.

1.77. Означення. Сукупність n чисел називається розв’язком СЛАР, якщо кожне рівняння системи перетворюється на числову рівність після підстановки в нього чисел замість відповідних невідомих для всіх i = 1, …, n.

Задача полягає в знаходженні розв’язків СЛАР, причому ми не робимо ніяких припущень щодо коефіцієнтів і вільних членів системи, і навіть щодо кількості рівнянь і кількості невідомих. Тому можуть існувати різні можливості – система може взагалі не мати розв’язків або мати їх безліч . Системи, які не мають розв’язків, називаються несумісними, а які мають хоча б один розв’язок – сумісними

· Правило Крамера. Почнемо розгляд з найпростішого випадку, коли кількість рівнянь у СЛАР дорівнює кількості невідомих. Також вважатимемо, що рівняння лінійно незалежні (це означає, що рядки основної матриці системи лінійно незалежні). У випадку, коли , для лінійної незалежності рівнянь системи достатньо вимагати, щоб детермінант матриці системи був відмінним від нуля.

1.78. Теорема. Правило Крамера. СЛАР з n рівнянь відносно n невідомих.

у випадку, коли визначник матриці системи відмінний від нуля, має єдиний розв’язок, який визначається таким чином: , де – детермінант матриці системи, а – детермінант матриці, отриманої з матриці системи шляхом заміни і-го стовпчика на стовпчик вільних членів, тобто

& Додамо зверху до розширеної матриці системи, яка має розміри , довільний йому рядок, номер якого j. У результаті маємо квадратну матрицю порядку , у якій два рядки збігаються, тому її визначник дорівнює нулю. Обчислимо цей визначник, розклавши його за 1-м рядком

.

Тут – детермінант матриці, отриманої з розширеної матриці системи А* викреслюванням і-го стовпчика. Оскільки , то

, .

Якщо ввести формальне позначення

, тоді , .

Таким чином, визначений набір чисел задовільняє розв’язок системи. Суттєво, що числа не залежать від j, а тому задовольняють усі рівняння системи, тобто є її розв’язком. Існування розв’язку доведено.

Приведемо вираз для до потрібного вигляду, переставивши у визначнику останній стовпчик b на і-те місце, тобто поміняємо місцями цей стовпчик послідовно зі стовпчиками з номерами . Усього потрібно перестановок, тому

.

Доведемо єдиність отриманого розв’язку методом від оберненого. Нехай є два розв’язки системи і . Запишемо систему у вигляді:

, або ,

де – стовпчики матриці системи, – стовпчик вільних членів. Результат підстановки розв’язків і у систему має вигляд

,

отже,

Якщо розв’язки не збігаються, то хоча б одна з різниць , відмінна від нуля, а це означає, що стовпчики є лінійно залежними, а цього бути не може, тому що із самого початку припускались, що . Зауважимо, що не використовувся збіг кількості рівнянь і кількості невідомих, тобто за змістом доведено більш сильне твердження: якщо стовпчики матриці є лінійно незалежні, то система не може мати два різні розв’язки.%

Це твердження стане особливо прозорим після доведення теореми Кронекера – Капеллі в наступному параграфі.

1.79. Теорема. Кожна квадратна матриця з детермінантом, відмінним від нуля, має обернену матрицю, і притому тільки одну. Справді, при будь-якому j стовпчик матриці Х має задовільняти умову , де – j-й стовпчик одиничної матриці, тобто

.

Згідно з правилом Крамера ця система рівнянь має єдиний розв’язок, отже, кожний стовпчик матриці однозначно визначений.

Із властивостей оберненої матриці

, ,

, ,

.

Можна розв’язувати систему й методом Гаусса. Оскільки , то елементарними перетвореннями можемо перетворити матрицю А на одиничну матрицю. При цьому стовпчик вільних членів перетвориться на розв’язки системи , у яких у цьому випадку відсутні параметричні невідомі. За різних j системи рівнянь відрізняються лише стовпчиками вільних членів, тому елементарні перетворення рядків розширеної матриці одні й ті самі при будь-яких j. Можна розв’язувати всі системи одночасно, приписавши до А стовпчики вільних членів усіх систем:

.

Якщо за допомогою елементарних перетворень рядків матриці перетворити її ліву половину на одиничну матрицю, то при цьому її права половина перетвориться на матрицю .