1.47. Приклад.

.

Розкладемо відносно першого рядка:

Кожний з визначників розкладаємо відносно другого рядка:

= 0 + 0 + 0 + 0,

оскільки в першому визначнику є два пропорційні рядки ( ), тому він дорівнює 0, четвертий визначник дорівнює 0 (очевидно), а другий і третій визначники зводяться до визначників типу 1 (з пропорційними рядками) або типу 4. Отже, якщо → n > 2, то . Для випадків і маємо

.

· Метод заміни елементів визначника. Нехай

.

Знайдемо

Очевидно, що складові, які утримують більше одного рядка елементів, рівних х, дорівнюють нулю. Складові, які утримують один рядок елементів, рівних х, розкладем за цим рядком:

,

де – алгебраїчні доповнення елементів визначника.

.

1.48. Приклад. Знайдемо

.

Віднімемо від усіх елементів визначника число х, тоді

Оскільки всі недіагональні алгебраїчні доповнення дорівнюють нулю, то внесок дають лише діагональні:

На завершення доведемо так звану формулу повного розкладу визначника

де сума береться за всіма перестановками чисел 1, 2, ..., n, а є кількістю порушень порядку в даній перестановці. Для випадку маємо:

Вважаємо, що дане співвідношення є вірним для матриць порядку . Тоді, розкладаючи визначник за 1-м рядком, отримаємо

.

Враховуючи що – визначник матриці порядку , отриманий з матриці шляхом викреслювання першого рядка й k-го стовпчика і, що в перестановці число k порушує порядок разів, можна стверджувати, що а також те, що парність збігається з парністю маємо:

§ 4. Мінори. Мінори довільного порядку. Ранг матриці

Нагадаємо, що число називається доповняльним мінором довільного елемента квадратної матриці A і дорівнює детермінанту матриці , яка отримується з матриці А викреслюванням і-го рядка та j-го стовпчика.

Виберемо в необов’язково квадратній матриці s номерів рядка і s номерів стовпчиків , причому вважатимемо, що ці номери розташовані в порядку зростання , .

1.49. Означення. Мінором порядку s матриці А називається детермінант матриці порядку s, утвореної елементами, розташованими на перетині вибраних рядків і стовпчика, тобто

1.50. Зауваження. Якщо матриця квадратна, то кожному мінору можна зіставити доповняльний мінор – визначення матриці порядку , який отримується з А викреслюванням рядків з номерами і стовпчиків , тобто тих, у яких розташований мінор . Виконуєтсья формула Лапласа для обчислення визначника матриці порядку n:

,

де сума береться за всіма можливими перестановками такою, що .

1.51. Означення. У матриці А розміром мінор порядку r називається базисним, якщо він не дорівнює нулю, а всі мінори порядку ( ) дорівнюють нулю або мінорів порядку ( ) узагалі немає, тобто r збігається з найменшим з чисел m і n.

У матриці можуть бути кілька базисних мінорів, але всі вони мають один і той самий порядок. Стовпчики й рядки, на перетині яких розташований базисний мінор, називаються базисними стовпчиками й рядками.

1.52. Означення. Рангом матриці називається порядок базисного мінора, або найбільший порядок, для якого існують відмінні від нуля мінори. Якщо кожний елемент матриці дорівнює нулю, то ранг такої матриці дорівнює нулю.

1.53. Зауваження. Ранг матриці позначають . Ранг матриці – це число. Найпростіше знаходити ранг матриці та її базисний мінор за допомогою елементарних перетворень.

1.54. Припущення. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці. Справді:

а) при множенні рядка на число базисний мінор або не зміниться або помножиться на . Жодний мінор, що дорівнює нулю, не стане відмінним від нуля;

б) якщо всі мінори порядку ( ) дорівнюють нулю, то додавання рядків не зробить жодний з них відмінним від нуля (на основі властивостей детермінантів);

в) при перестановці рядків мінор може змінити знак або може змінитись на мінор, який дорівнює по модулю і відрізняється за знаком від іншого мінора тієї самої матриці, або взагалі не зміниться.

На практиці ранг матриці знаходять методом приведення матриці до спрощеного вигляду. Нехай дано матрицю А розміром . Нехай – номер першого стовпчика, який утримує ненульові елементи. Якщо такого стовпчика немає, тоді базисного мінора немає, а отже . Нехай – ненульовий елемент -го стовпчика. Переставимо -ту рядок на перше місце й розділимо її на , а елементарними перетвореннями всі інші елементи -го стовпчика перетворимо на нуль

,

тут V₁ – матриця розміром .

Може виявитись, що останні рядків матриці А нульові, тоді перетворення завершені і . У протилежному випадку, нехай – номер самого лівого стовпчика, який утримує ненульовий елемент в останніх рядках. Переставимо ці рядки таким чином, щоб рядок, який утримує цей елемент, стала другою й розділимо її на цей елемент. Елементарними перетвореннями перетворимо на нуль всі інші елементи j₂-стовпчика. При цьому стовпчиків матриці А не зміняться. V₂ – матриця розміром ; символом " " позначено елементи, про які нічого не можна сказати.

Матриця матиме такий вигляд:

Якщо в останніх рядках є ненульові елементи, то продовжуємо ті самі перетворення до тих пір, поки останні рядків матриці будуть складатись з нулів або ж не будуть вичерпані всі рядки.

Таким чином, за допомогою елементарних перетворень стовпчиків кожну матрицю розміром можна привести до такого вигляду – деякі r стовпчики збігаються з першими r стовпчиками одиничної матриці порядку m. Якщо , то останні рядків складаються з нулів. Матриці такого виду називають спрощеними. Мінор спрощеної матриці, розташований у перших r рядках і стовпчиках дорівнює 1, ненульових мінорів більшого порядку немає, отже цей мінор є базисним, а ранг спрощеної матриці дорівнює r. Якщо ми привели матрицю А до спрощеного вигляду й отримали матрицю рангу r, то й ранг матриці А також був r. Приведену процедуру визначення рангу називають методом Гаусса.

Розглянемо квадратну матрицю з відмінним від нуля визначником ( ). У неї всі стовпчики базисні, отже її спрощений вигляд – одинична матриця, тобто кожну квадратну матрицю з ненульовим визначником можна перетворити на одиничну матрицю. Очевидно, що якщо А – матриця розміром , то яким би не був базисний мінор цієї матриці за допомогою елементарних перетворень рядків матриці А можна перетворити базисні стовпчики на стовпчики одиничної матриці. Якщо , то останні рядків будуть нульовими.