§ 10. Знаходження розв’язків слар

Вважаємо, що задана сумісна система з m лінійних рівнянь відносно n невідомих. Нехай r – ранг матриці. Оскільки ранг розширеної матриці також дорівнює r, виберемо базисний мінор розширеної матриці таким чином, щоб він був розташований в основній матриці системи. Застосовуючи елементарні перетворення рядків, приведемо розширену матрицю до спрощеного вигляду, тоді дана нам СЛАР згідно з тим, що елементарні перетворення рядків розширеної матриці системи відповідають перетворенню СЛАР на еквівалентну систему, переходить в еквівалентну систему з r лінійно незалежних рівнянь. Вважатимемо, що базисний мінор розташований у перших стовпчиках, тоді перетворену систему можна записати у вигляді

Тут – елементи перетвореної розширеної матриці. У лівих частинах рівності залишимо невідомі , які відповідають стовпчикам обраного базисного мінора, які називаються базисними невідомими, інші невідомі – , які називають параметричними невідомими, перенесено в праві частини рівностей. Очевидно, що присвоївши параметричним невідомим певні довільні значення, знаходимо певні значення базисних змінних, тобто базисні й параметричні невідомі утворюють розв’язок заданої СЛАР.

Тепер очевидно, що якщо стовпчики основної матриці заданої СЛАР є лінійно незалежними і матриця при цьому є квадратною (як у випадку теореми Крамера), то система не може мати двох і більше різних розв’язків. Дійсно, з лінійної незалежності стовпчиків основної матриці випливає, що ранг матриці системи збігається з кількістю невідомих. Отже, кількість базисних невідомих збігається з кількістю невідомих, параметричних невідомих у цьому випадку немає, тому СЛАР має в цьому випадку єдиний розв’язок.

§ 11. Множина розв’язків однорідної системи. Загальний розв’язок системи лінійних рівнянь

Будь-яка однорідна система лінійних рівнянь сумісна. Вона має розв’язок , який називається тривіальним розв’язком. Усі попередні результати про системи лінійних рівнянь справедливі й для однорідних систем. Попереднє співвідношення у цьому випадку матиме вигляд

Очевидно, що , оскільки при елементарних перетвореннях рядків нульовий стовпчик перейде тільки в нульовий.

1.84. Теорема. Якщо стовпчики – розв’язки однорідної системи, то їх сума – також є розв’язком цієї системи. Добуток розв’язку однорідної системи на будь-яке число є розв’язком цієї самої системи.

& Дано і . Звідси випливає, що

і

яким би не було число λ.%

Для доведення двох наступних теорем будемо, як раніше, вважати, що базисний мінор матриці системи розташований у перших r стовпчиках.

1.85. Теорема. Якщо ранг матриці однорідної СЛАР відносно невідомих дорівнює r, то система має лінійно незалежних розв’язків.

& Для доведення надамо параметричним змінним такі набори значень:

1) ;

2) ;

… … … … … … … …

Для кожного набору значень параметричних невідомих знайдемо відповідні значення базисних невідомих і отримані розв’язки запишемо у вигляді стовпчиків:

Ці розв’язки є лінійно незалежними. Дійсно, складемо матрицю з стовпчиків . Вона має мінор порядку , розташований в останніх рядках, який дорівнює 1, тому її ранг дорівнює і всі стовпчики є лінійно незалежними.%

Сукупність розв’язків називають нормальною фундаментальною системою розв’язків.

1.86. Теорема. Нехай – довільна фундаментальна система розв’яків однорідної системи лінійних рівнянь. Тоді будь-який розв’язок однорідної системи є лінійною комбінацією розв’язків .

Справді, нехай – фундаментальна система розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь. Розглянемо стовпчик :

.

Оскільки лінійна комбінація будь-якої кількості розв’язків однорідної системи також є її розв’язком, які б не були числа , стовпчик , що визначається останнім виразом, є розв’язком однорідної СЛАР, яка розглядається.

1.87. Теорема. Якщо – фундаментальна система розв’язків приведеної системи рівнянь, а – деякий розв’язок СЛАР, то стовпчик

при будь-яких числах є розв’язком СЛАР. Навпаки, для кожного розв’язку системи знайдуться такі числа при яких воно має такий вигляд, який називається загальним розв’язком системи лінійних рівнянь.

1.88. Приклад. Знайти фундаментальну система розв’язків (ФСР) і загальний розвязок системи рівнянь

& Ранг матриці системи

дорівнює 2 (див. приклад 1.58), тому вимірність простору розв’язків даної системи дорівнює , а її ФСР складається з трьох розв’язків. У матриці візьмемо як базасний мінор – мінор другого порядку, що складається із чотирьох елементів, до яких входять другий і третій елементи першого та другого рядків

.

Третій рядок матриці є лінійною комбінацією базасних рядків, тому останнє рівняння системи є наслідком перших двох рівнянь і його можна відкинути. У перших двох рівняннях члени, що відповідають базисному мінору, залишаємо у лівій частині, а невідомі вважаємо параметричними й переносимо члени із цими невідомими у праві частини рівняннь. У результаті приходимо до системи рівнянь

рівносильній початковій системі, тобто множина розв’язків цієї системи збігається з множиною розв’язків початкової системи.

Знайдемо перший базисний розв’язок . Для цього покладемо , . Попередня система рівнянь при цьому має вигляд

Визначником матриці отриманої системи є відмінний від нуля базисний мінор, тому така система має єдиний розв’язок, який можна знайти, наприклад, за формулами Крамера: , . Таким чином,

. Покладаючи в системі (1) , , , аналогічно знаходимо , , тобто другим базисним розв’язком є стовпчик . Нарешті, покладаючи , , , знаходимо , . Із цього випливає, що третім базисним розв’язком є . Таким чином, ФСР, що складається з розв’язків , , , побудована. Зазначимо, що побудована таким чином ФСР називається нормальною ФСР. Підкреслимо, що стовпчики , , , які утворюють нормальну ФСР, є лінійно незалежними, оскільки параметричні невідомі , , обрано таким чином, що мінор третього порядку у матриці з цих стовпчиків

,

відмінний від нуля. Тому ранг цієї матриці дорівнює 3, тобто кількості стовпчиків матриці.

Запишемо тепер загальний розв’язок початкової системи рівнянь:

,

або в координатах:

, , ,

де – довільні константи.%

1.89. Приклад. Як приклад, на основі теореми Кронекера – Капеллі проаналізуємо взаємне розташування двох прямих на площині і в просторі.

Випадок 1. Дві прямі на площині, що не збігаються. Прямі паралельні, якщо вони не мають спільної точки, тобто, якщо

.

Далі буде показано, що рівняння прямої в просторі можна записати як , де – радіус-вектор будь-якої точки, що належить даній прямій (початкова точка), – напрямний вектор.

Випадок 2. Дві прямі в просторі. Нехай задано дві прямі в просторі і , де і – радіус-вектори початкових точок прямих, а і – відповідно направлені вектори прямих. У випадку, якщо вектори , і некомпланарні, тобто, якщо

,

то прямі є мимобіжними. Якщо ж , то прямі або перетинаються, або паралельні. або збігаються. Для того, щоб з’ясувати їх взаємне розташування в цьому випадку, дослідимо таку CΛAР:

Маємо CΛAР з трьох рівнянь відносно двох невідомих і . Очевидно, що ранг основної та розширеної матриць системи не перевищує 2. Очевидно, що прямі перетинаються, якщо і не є колінеарними, тобто в цьому випадку і збігається з , тобто кількість базисних змінних – 2, параметричних змінних немає. Отже, дана CΛAР має єдиний розв’язок, який дає значення параметрів і , що визначають точку перетину заданих прямих. Якщо прямі паралельні або збігаються, то вектори і є колінеарними, тобто , тоді

.

Якщо в цьому випадку є не колінеарними з векторами і , то тоді прямі паралельні і

,

тобто СΛАР згідно з теоремою Кронекера – Капеллі є несумісною. Якщо ж є колінеарним до і , то прямі збігаються, у цьому випадку ранги основної та розширеної матриць СΛАР збігаються й дорівнюють 1, тобто в цьому випадку СΛАР має безліч розв’язків, як і має бути.