Задач и их функции

Задачи являются основным средством, которое используется при обучении математике для формирования знаний, умений и навыков учащихся. Посредством решения задач реализуются все цели обучения математике: образовательные, развивающие, воспитательные. По своему функциональному назначению задачи, как средство обучения, могут быть или направлены на формирование знаний, умений и навыков учащихся ( обучающие задачи ) или на осуществление контроля со стороны учителя или учащихся уровня форсированности знаний, умений и навыков ( контролирующие задачи ) (рис. 19).

Рис. 19. Классификация задач по функциональному назначению

Обучающие задачи, прежде всего, связаны с формированием элементов теоретических знаний и связанных с ними умений.

В системе задач, связанных с усвоением понятия и его определений, выделяются следующие задачи:

1. Задачи, связанные с показом практической значимости нового понятия или с его значимостью для дальнейшего продвижения в изучении математики. 2. Задачи на актуализацию знаний и умений, необходимых при формировании данного понятия. 3. Задачи на выделение существенных признаков понятия. 4. Задачи на распознавание формулируемого понятия. 5. Задачи на усвоение текста определения понятия. 6. Задачи на использование математической символики. 7. Задачи на установление свойств понятия. 8. Задачи на применение понятия. 9. Задачи на усвоение математических понятий. 10. Задачи на овладение математической символикой.

Методика обучения решению задач на нахождение доли от числа и числа по его доле

Для подготовки к решению данных задач проводится работа по усвоению понятия дроби. При устном счете нужно добиться, чтобы каждый учащийся знал:

• какое действие обозначает дробная черта;

• что обозначает дробь.

Дробная черта обозначает действие деления, а дробь   обозначает, что данное разделили на 4 равных части и взяли 3. Для этого хорошо использовать конверты, которые готовят все учащиеся с помощью родителей. В конверты вложены круги: целые, разрезанные пополам, на 3 равные части, на 4; 6; 8 частей. Каждые доли одного круга имеют одинаковый цвет. Используя этот материал, учащиеся наглядно видят, как получаются дроби. Например. Выложить фигуру, изображающую дробь  . Зная цвета долей, учитель видит ошибки, допускаемые учащимися, и разбирает задание. При ответе ученик говорит, что круг разделили на 6 равных частей и взяли 5 таких частей. Наличие подобных конвертов дает возможность наглядного представления о сложении дробей с одинаковыми знаменателями и о вычитании из единицы дроби. Так как к работе привлечены все учащиеся и сложение видно наглядно, после двух примеров учащиеся сами формулируют правило сложении дробей с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим вычитание. Из 1 вычтем  . Учащиеся кладут на стол круг, но замечают, что из него пока убрать ничего не возможно. Тогда они предлагают круг разрезать на 4 равные части и убрать одну. Делаем вывод, что 1 надо заменить дробью  . После 2-3 примеров учащиеся сами делают вывод. С использованием этого материала дается понятие об основном свойстве дроби, когда на дробь   они выкладывают   и т.д. Отработав этот материал, приступаем к решению задач. Пример №1. В саду 120 деревьев. Березы составляют   всех деревьев, а остальные сосны. Сколько было сосен? Изобразим число деревьев, начертив отрезок. Напишем данные, причем число частей ставим под отрезком, так как с этими числами нужно выполнять деление при решении Рис. 2. Графическое изображение задачи из примера №1 Вопрос: Что означает дробь  ? Ответ: Все количество деревьев разделили на 3 равные части и березы составляют 2 части. I способ: 120 / 3 = 40 (дер.) – составляют одну часть. 40*2 = 80 (дер.) – было берез. 120 - 80 = 40 (дер.) – было сосен. II способ: 120 / 3 = 40 (дер.) 3 – 2 = 1 (часть) – составляют сосны. 40*1 = 40 (дер.) – составляют сосны. Ответ: 40 сосен. Пример №2. 10 га занято свеклой, что составляет   всего поля. Какова площадь поля? 120 д. ? Пример №5. Покупатель израсходовал в первом магазине   всех денег, а во втором -   остатка. Сколько денег у него было, если во втором он израсходовал 60 рублей? Решая эту задачу, нужно учитывать, что мы находим часть числа не от одной суммы, и поэтому чертеж следует дополнить. Решая подобные задачи, учащиеся должны постоянно работать с чертежом.

19-20. Методика обучения решению задач на конкретный смысл арифметических действий, взаимосвязи между ними

Простые задачи, т.е. задачи, решаемые одним действием (сло­жением или вычитанием), принято делить на следующие группы.

К первой группе относятся простые задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из арифме­тических действий, т. е. какое арифметическое действие соответ­ствует той или иной операции над множествами (сложение или вычитание). Это задачи на нахождение суммы двух чисел и на нахождение остатка.

Для иллюстрации задач широко применяются различные кар­тинки. Основные требования к ним: простота сюжета, динамизм содержания и ярко выраженные количественные отношения между объектами. Такие картинки готовятся заранее, некоторые из них издаются. На одних из них все предопределено: и тема, и содержа­ние, и числовые данные. Например, на картине нарисованы три легковых и одна грузовая машина. С этими данными можно соста­вить 1-2 варианта задач.

Ко второй группе относятся простые задачи, при решении которых надо осмыслить связь между компонентами и результатами арифметических действии. Это задачи на нахождение неизвестных компонентов:

а) нахождение первого слагаемого по известным сумме и вто­рому слагаемому («Нина вылепила из пластилина несколько гриб­ков и мишку, а всего она вылепила 8 фигур. Сколько грибков вылепила Нина?»);

б) нахождение второго слагаемого по известным сумме и перво­му слагаемому («Витя вылепил 1 мишку и несколько зайчиков. Всего он вылепил 7 фигур. Сколько зайчиков вылепил Витя?»);

в) нахождение уменьшаемого по известным вычитаемому и раз­ности («Дети сделали на елку несколько гирлянд. Одну из них уже повесили на елку, у них осталось 3 гирлянды. Сколько всего гирлянд сделали дети?»);

г) нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и разности («Дети, сделали 8 гирлянд на елку. Когда они повесили на елку несколько гирлянд, у них осталась одна гирлянда. Сколь­ко гирлянд повесили на елку?»).

Обучение школьников решению задач проходит через ряд взаимосвязанных между собой этапов.

Первый этап - подготовительный.

Основная цель этого эта­па - организовать систему упражнений по выполнению операций над множествами.

Подготовкой к решению задач на сложе­ние являются упражнения по объединению множеств. Упражнения на выделение части множества проводятся для подготовки детей к решению задач на вычитание. С помощью операций над множе­ствами раскрывается отношение «часть - целое», доводится до по­нимания смысл выражений «больше на...», «меньше на...».

Учитывая наглядно-действенный и наглядно-образный характер мышления детей, следует оперировать такими множествами, элементами которых являются конкретные предметы. Воспитатель пред­лагает детям отсчитать и положить на карточку шесть грибов, а затем добавить еще два гриба. «Сколько всего стало грибов? (Де­ти считают). Почему их стало восемь? К шести грибам прибавили два (показывает на предметах) и получили восемь. На сколько стало больше грибов?»

Второй этап Основная его цель - учить детей составлять задачи и подводить к усвоению их структуры.

Детей учат устанавливать связи между данными и искомым и на этой основе выбирать для решения необходимое арифметическое действие. На этом этапе обучения составляются такие задачи, в которых вторым слагаемым или вычитаемым является число 1. Это важно учитывать, чтобы не затруднять детей поиском способов решения задачи. Прибавить или вычесть число 1 они могут на основе имею­щихся у них знаний об образовании последующего или предыдущего числа.

На следующем занятии, продолжая учить детей составлять за­дачи, нужно особо подчеркнуть необходимость числовых данных. Чтобы убедить детей в необходимости наличия не менее двух чи­сел в задаче, воспитатель намеренно опускает одно из числовых данных. На конкретных примерах из жизни дети яснее осознают необхо­димость иметь два числа в условии задачи, лучше усваивают отно­шения между величинами, начинают различать известные данные в задаче и искомое неизвестное.

После таких упражнений можно подвести детей к обобщенному пониманию составных частей задачи. Основными элементами задачи являются условие и во­прос. В условии в явном виде содержатся отношения между число­выми данными и неявном - между данными и искомым. Анализ условия подводит к пониманию известных и к поискам неизвест­ного. Этот поиск идет в процессе решения задачи. Детям надо объяснить, что решать задачу - это значит понять и рассказать, какие действия нужно выполнить над данными в ней числами, чтобы получить ответ.

Таким образом, структура задачи включает четыре компонента:

• условие

• вопрос

• решение

• ответ.

Выяснив струк­туру задачи, дети легко переходят к выделению в ней отдельных частей. Дошкольников следует поупражнять в повторении простей­шей задачи в целом и отдельных ее частей. Можно предложить одним детям повторить условие задачи, а другим поставить в этой задаче вопрос.

Когда дети научатся правильно формулировать вопрос, можно перейти к следующей задаче этого этапа - научить анализировать задачи, устанавливать отношения между данными и искомым. На этой основе можно уже научиться формулировать и записывать ариф­метическое действие, пользуясь цифрами и знаками +, -, =.

Поскольку задача представляет собой единство целого и части, с этой позиции и

Далее задача анализируется, выясняется, что известно из задачи (поставили шесть стульев, а затем один убрали) и что неизвестно (сколько стульев осталось у стола). Детям предлагается решить задачу и ответить на ее вопрос.

Обучающее значение приведенных выше задач на сложение и вычитание состоит не столько в том, чтобы получить ответ, а в том, чтобы научить анализировать задачу и в результате этого правильно выбрать нужное арифметическое действие.

Итак, на втором этапе работы над задачами дети должны:

а) научиться составлять задачи;

б) понимать их отличие от рассказа и загадки;

в) понимать структуру задачи;

г) уметь анализировать задачи, устанавливая отношения между данными и искомыми.

Задача третьего этапа - учить детей формулировать арифметические действия сложения и вычитания.

На предыдущей ступени школьники без затруднения находили ответ на вопрос задачи, опираясь на свои знания последовательности чисел, связей и отношений между ними. Теперь же нужно познакомить с арифметическими действиями сложения и вы­читания, раскрыть их смысл, научить формулировать их и «записы­вать» с помощью цифр и знаков в виде числового примера. («Запись» производится при помощи карточек с изображенными на них цифрами и знаками.)

На основе предложенного наглядного материала составля­ются еще одна-две задачи, с помощью которых дети продолжают учиться формулировать действие сложения и давать ответ на вопрос.

Когда дети усвоят в основном формулировку действия сло­жения, переходят к обучению формулировке вычитания. Работа проводится аналогично тому, как это описано выше.

При формулировке арифметического действия можно считать правильным, когда дети говорят отнять, прибавить, вычесть, сложить. Слова сложить, вычесть, полу­чится, равняется являются специальными математическими терминами. Этим терми­нам соответствуют бытовые слова прибавить, отнять, стало, будет.

В процессе обучения следует составлять и решать задачи на сложение и вычитание величин. В качестве наглядного мате­риала используются шнуры, тесемка, ленты, мягкая проволока и другие предметы, подлежащие измерению, а также условные мерки разного размера и др.

На четвертом этапе работы над задачами детей учат при­емам вычисления - присчитывание и отсчитывание единицы.

Если до сих пор вторым слагаемым или вычитаемым в решае­мых задачах было число 1, то теперь нужно показать, как следу­ет прибавлять или вычитать числа 2 и 3. Это позволит разнооб­разить числовые данные задачи и углубить понимание отношений между ними, предупредит автоматизм в ответах детей. Однако здесь нужно соблюдать осторожность и постепенность. Снача­ла дети учатся прибавлять путем присчитывания по единице и вычитать путем отсчитывания по единице число 2, а затем число 3.

Присчитывание - это прием, когда к известному уже числу прибавляется второе известное слагаемое, которое разбивается на единицы и присчитывается последовательно по 1: 6 + 3=6+ 1 +1 +1 + 1=7+1 + 1=8+1=9.

Отсчитывание - это прием, когда от известной уже суммы вычитается число (разбитое на единицы) последовательно по 1: 8-3 = 8 - 1 - 1-1 = 7 - 1 – 1 = 6 – 1 = 5.

На завершающем пятом этапе работы над задачами можно предло­жить дошкольникам составлять задачи без наглядного материала (устные задачи).

В них дети самостоятельно избирают тему, сю­жет задачи и действие, с помощью которого она должна быть решена. Воспитатель регулирует лишь второе слагаемое или вычи­таемое, напоминая детям, что числа свыше трех они еще прибав­лять и отнимать не научились. (Здесь могут быть и исключения.)

При введении устных задач важно следить за тем, чтобы они не были.

Исследования и практика показывают, что школьникам до­ступно решение некоторых видов косвенных задач. Их можно пред­лагать детям, будучи уверенными, что обязательный программный материал усвоен ими хорошо.