4. Геометрические характеристики плоских сечений

4.1. Общие положения

До сих пор при рассмотрении деформаций растяжения, сдвига или смятия площадь поперечного сечения элемента конструкции была единственной характеристикой, достаточной для рассмотрения на прочность и жесткость. При кручении и изгибе, как будет показано ниже, площадь сечения уже не может характеризовать меру сопротивляемости элемента внешним нагрузкам.

Например, при равных площадях сечений А = b · h и силе F сопротивляемость балки в положении рис. 4.1,а значительно выше, чем в положении рис. 4.1, б. То есть на величину напряжений в соответствующих сечениях балки при изгибе будет влиять не только величина площади А, но и ее конфигурация и ориентация относительно осей y и z.

z z

y

y F F b

l

h

l x h x

b

а) б)

Рис. 4. 1

Рассмотрим некоторые геометрические характеристики сечений, используемые в теории изгиба и кручения.

Изобразим сечение балки произвольной конфигурации в произвольной системе координат yOz (рис. 4.2, а).

dA

z z₁ z

y

A

dA

y A b

z

y

 z y 0

0 a

y₁

0₁

а) б)

Рис. 4. 2

1. Статические моменты сечения относительно координатных осей определяются по формулам:

S_y = _A zdA; S_z = _A ydA (4.1)

Отсюда при известных статических моментах центр тяжести сечения находится по формуле

y = S_z / A, z = S_y / A. (4.2)

2. Осевые моменты инерции сечения представляют интегральную сумму произведений элементарных площадей dA сечения на квадрат расстояния их до соответствующих осей:

I_y = _A z² dA; I_z = _A y² dA (4.3)

3. Полярный момент инерции

I_p = _A ² dA, (4.4)

где  — радиус вектор элемента dA.

Приняв во внимание, что ² = y² + z², используя (4.3) и (4.4) получим:

I_р = I_y + I_z (4.5)

4. Центробежный момент инерции сечения

I_yz = _A yz dA (4.6)

Оси y и z сечения А можно расположить так, что центробежный момент инерции относительно этих осей обратится в ноль. Такие оси называются главными осями инерции сечения. I_y и I_z относительно этих осей имеют экстремальные значения. Если начало главных осей совмещено с центром тяжести сечения, оси называются главными центральными осями инерции сечения. Если сечение имеет оси симметрии, то главные центральные оси совпадают с ними.

5. Если деталь сложного сечения, ее суммарный осевой момент инерции можно найти как сумму простых моментов инерции сечений, используя параллельный перенос осей координат (рис. 4.2, б):

I_y1 = _A (z + a)² dA = I_y + a² A (4.7)

I_z1 = _A (y + b)² dA = I_z + b² A

Определим некоторые геометрические характеристики относительно главных центральных осей инерции наиболее часто встречающихся сечений — прямоугольника, круга и кольца.