6.5 Напряжения при изгибе

Рассмотрим чистый изгиб балки моментами пар сил М, расположенными в продольной плоскости симметрии балки (рис. 6.8,а).

d

z

-_иmax



M M

A

A^

₁ А ^A A

O

O^

x

dx

О 2 О o

C

C^

z

₄ ³ C dA _иz

B^

B

5 y z B

B B dN _иmax

а) б) в)

Рис. 6.8.

Под действием этих моментов балка деформируется: её верхние слои (1, 2) сжимаются, нижние (4, 5) – растягиваются. Длина волокон 3, лежащих в плоскости, перпендикулярной плоскости самого изгиба и проходящей через продольную ось балки ОО ^, при деформации изгиба не изменяется. Совокупность этих волокон по ширине балки образует нейтральный слой, не испытывающий при изгибе ни растяжения, ни сжатия.

Чтобы установить закон распределения напряжений в поперечных сечениях балки, используют уравнения деформации балки, а также некоторые дополнительные допущения:

1. поперечные сечения балки, плоские до деформации, остаются плоскими и нормальными по отношению к продольной оси балки и в самом процессе деформации;

2. балку условно можно представить в виде совокупности продольных материальных слоев, которые подвергаются деформации простого растяжения или сжатия, для их характеристики справедлив закон Гука;

3. все волокна какого либо слоя, равноудаленного от нейтрального, деформируются одинаково.

Для определения величины напряжения в любой точке поперечного сечения балки AB (рис. 6.8, а) выделим элемент длиной dx = OO^ и рассмотрим его деформацию (рис. 6.8, б). Обозначим  - радиус кривизны элемента dx, z – расстояние слоя CC^ от нейтрального слоя dx.

Определим абсолютное удлинение слоя CC^ : l = CC^ - dx (до деформации длины всех слоев были равны dx). Относительное удлинение _z = l / dx. С учетом того, что dx = ·d, CC^ = (+z)d, получим:

_z = = (6.5)

Поскольку слой CC^ удлинился, в нем возникнут нормальные напряжения _иz , которые согласно закону Гука с учетом (6.5) будут равны:

_иz = Е·_z = , (6.6)

где Е – модуль упругости материала балки при растяжении.

Из выражения (6.6) следует, что напряжение _иz распределяется по сечению АВ неравномерно: если по ширине сечения _иz=const, то по высоте оно изменяется пропорционально расстоянию z от нейтрального слоя ОО^, достигая максимальных значений на поверхностных слоях балки А и В (рис.6.8, в).

Зависимость напряжения _иz в вертикальной плоскости xOz от изгибающего момента М может быть определена следующим образом. Момент М согласно условию статического равновесия и методу сечения должен быть уравновешен моментом М_и внутренних сил взаимодействия в данном сечении балки:

М_и =

Подставив значение _иz из формулы (6.6), получим:

М_и = ,

где I_у = - осевой момент инерции поперечного сечения А относительно оси y. Отсюда можно определить, что

Подставив это выражение в формулу (6.6), получим:

_иz = (6.7)

Таким образом, из формулы (6.7) следует, что:

1. в любом сечении балки возникают нормальные напряжения _иz, значения которых изменяются по высоте сечения пропорционально расстоянию z от нейтрального слоя;

2. вблизи нейтрального слоя при z=0 напряжения равны нулю, а в поверхностных слоях балки при z=z_max они достигают максимальных значений. Например, на рис. 6.8, в вверху – сжимающих (-_иmax ), внизу - растягивающих (+_иmax).

Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям с учетом вышесказанного будет иметь вид:

_иmax = _иz = , (6.8)

где W_y = - осевой момент сопротивления поперечного сечения или момент сопротивления при изгибе относительно оси y. Момент сопротивления является геометрической характеристикой поперечного сечения балки, определяющей ее прочность при изгибе.

Если изгиб происходит в горизонтальной плоскости, уравнение прочности имеет вид

_иy = (6.9)

Определим значения W_y и W_z для простейших сечений, осевые моменты инерции которых были рассмотрены выше.

Для прямоугольника:

W_y = ; W_z = ; (6.10)

Для круга:

W_y = W_z = ; (6.11)

Для кругового кольца:

W_y = W_z = ; (6.12)

Примечание. При плоском поперечном изгибе кроме нормальных напряжений, вызванных изгибающим моментом, в поперечных сечениях балки могут возникать и касательные напряжения, вызванные поперечной силой Q. Определение этих напряжений приводится в соответствующих разделах курса «Сопротивление материалов». Для балок простых сечений, приведенных выше, касательные напряжения незначительны по сравнению с нормальными и их можно не учитывать.