2.8. Статически неопределимые системы

Имеется много конструкций, в элементах которых усилия не могут быть определены только из уравнений статического равновесия. Такие конструкции (системы) называются статически неопределимыми.

Рассмотрим две простейшие задачи статически неопределимых систем и методы их решения.

1. Стержень (рис. 2.5, а) зажат между двумя заделками так, что нагрузка F воспринимается как левой, так и правой заделками.

A₁ A₂ t^o A

F

R_C

R_A

R_B

A

B

C

A

B

x

R_А

l₁ l₂ l

а) б)

Рис. 2. 5

Для определения реакций R_A и R_С можно использовать только одно уравнение статики Х = 0, из которого получаем: R_A + R_С = F. Так как неизвестных два, а уравнение одно, необходимо еще одно дополнительное уравнение — уравнение деформации стержня. Такая система будет называться один раз статически неопределимой. Если система требует двух уравнений перемещений, она называется дважды статически неопределимой и т. д.

Используя метод сечений, определяют внутренние силы N₁ = R_A и N₂ = - R_С на первом и втором участках, откуда на основании закона Гука находят суммарную деформацию стержня:

l_AC = l_AB + l_BC =(N₁ · l₁ ) / (E · A₁) + (N₂ · l₂ ) / (E · A₂). Поскольку стержень зажат с двух сторон и l_AC = 0, получим:

(R_A · l₁ ) / (E · A₁)+ ( - R_C · l₂ ) / (E · A₂) = 0.

Исходя из того, что из уравнения статики R_C = F - R_A , приняв, например, l₁ = l₂ , А₁=2А₂ , получим: R_A = 2F / 3, R_C = F / 3. Далее, при необходимости, осуществляется построение эпюр сил, напряжений, перемещений, производится анализ прочности и т. д.

2. Пусть металлический стержень длиной l зажат между двумя жесткими опорами А и В. При повышении температуры на t стержень должен удлиниться на l_t =  · l · t, или _t = l_t / l =  · t, где  – температурный коэффициент линейного расширения (для стали  = 12 · 10^{-6 о}С^-1). Так как стержень зажат и не может удлиниться, в нем возникнет напряжение сжатия, значение которого определится по закону Гука:

_сж = E·t = Е ·  · t (2.10)

Например, если стальной вал жестко зажат между опорами, то независимо от его длины и размеров поперечного сечения при увеличении температуры напряжение в нем будет увеличиваться на

_ст = 2 · 10⁵ ·12 · 10^-6 · t = 2,4 · t, т. е. на 2,4 МПа на один градус.

При t = 100^о _сж = 240 МПа, что практически сделает вал неработоспособным. Реакции в опорах при этом будут равны R_А = R_В = N =  · А. При диаметре вала, например, равном d = 10мм получим R_А = 240 · 78,5 = 18840 Н. Это очень большая величина!

В более сложных случаях расчет статически неопределимых систем способом сравнения деформаций может приводить к ошибочным результатам, поэтому рекомендуется применять более строгие методы: метод сил или энергетический метод.