Геометрический и физический смысл производной. Касательная и нормаль

Цель: 1.научить находить касательную и нормаль к функции в заданной точке

2. научить различать физический и геометрический смыслы производных

Геометрический смысл производной

х

– тангенс угла наклона касательной.

– угол между двумя кривыми в точке .

Уравнение касательной

.

Уравнение нормали

.

Механический смысл производной

Если – закон движения точки, то – скорость, – ускорение.

Определение дифференциала

Дифференциал – главная часть приращения функции.

, ,

Приближенное вычисление значения функции в заданной точке

.

I. Касательная и нормаль

Пример 1 . Написать уравнения касательной и нормали к параболе y²=4x в точке М(1;2).

Решение:

Уравнение касательной имеет вид: , а уравнение нормали выглядит так:

Найдем как производную неявной функции , т.е. откуда Значит,

Отсюда получаем уравнение касательной в точке М:

т.е. y=2x.

Теперь найдем уравнение нормали:

т.е.

Пример 2. Найти угол, под которым пересекаются кривые

Решение:

Сначала найдем точку пересечения кривых, для чего подставим во второе уравнение: или где t=x².

Решая последнее уравнение, найдем t=16, откуда

Таким образом, имеем 2 точки пересечения и M₁(4;2) и М₂(-4;-2).

Найдем угол φ₁ пересечения кривых в точке М₁, предварительно вычислив и из уравнений :

Теперь окончательно найдем

Поскольку знаменатель дроби обратился в ноль, то это означает, что

Аналогично находим угол во второй точке пересечения данных кривых.

Выполните задание:

В какой точке касательная к параболе у=х² перпендикулярна к прямой 2х–6у+5=0 ? Написать уравнения касательной и нормали в этой точке.

В каких точках касательные к кривой у = х³+х-2 параллельны прямой . Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой х=1.

В каких точках угловой коэффициент касательных к графику функции у = 2х³–2х²+ х - 1 равен 3 ? Написать уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой х=1.

II. Геометрический и физический смысл производной

Пример 3. Найти точки, в которых касательная к графику гиперболы параллельна прямой .

Решение:

Угловой коэффициент данной прямой равен , поэтому производная к кривой в искомой точке x₀ также равна : (геометрический смысл производной)

откуда , или .

Пример 4. Закон прямолинейного движения материальной точки . Найти скорость в момент времени t = 9 c. (s измеряется в сантиметрах, t – в секундах).

Решение:

м/с.

Выполните задание:

1. Угол, на который повернётся колесо за время t,  (t) = 100 + 3t - 0,01 t³. Найти ускорение в тот момент времени, когда колесо остановится. (  измеряется в радианах, t – в секундах).

2. Зависимость между количеством вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и временем t выражается формулой x (t) = А (1 - е^{–k t} ). Определить скорость и ускорение реакции.

3. Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону . Определить кинетическую энергию этого тела в момент времени t = 3 с. (х измеряется в метрах)