Модуль 8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Частные производные

Цель:

• научить находить частные производные

• научить находить дифференциалы функций, приближенное вычисление.

• нахождение градиента

Производная сложной функции

u=f(x,y,z), где x=x(t,v), y=y(t,v), z=z(t,v)

, .

Производная неявной функции

F(x,y)=0: ; F(x,y,z)=0: .

Производная скалярного поля

u=f(x,y,z) по направлению вектора

, где .

Градиент скалярного поля

.

достигается при =0, т.е. .

Поверхности уровня скалярного поля u=f(x,y,z) f(x,y,z)=С.

Касательная плоскость к поверхности F(x,y,z)=0 в точке M₀(x₀,y₀,z₀)

=0.

Нормаль к поверхности

.

Пример 1. Найти частные производные функции а) , б) .

Решение: а) , ,

б) , .

Пример 2. Поток пассажиров выражается функцией , где - число жителей,

а - расстояние между городами. Найти частные производные и пояснить их смысл. 

Решение:

Производная показывает, что при одном и том же расстоянии между городами увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей. Производная показывает, что при одной и той же численности жителей увеличение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между городами.

Пример 3. Найти частные производные функции

Решение:

Найдем частные производные , .

Пример 4. Найти полный дифференциал функции .

Решение:

Пример 5. Найти полный дифференциал функции

Решение:

Пример 6. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции при x = 1, y = 2, z = 1.

Решение:

Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01,

z = 1,02 – 1 = 0,02.

Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

Пример 7. Найти частные производные функции

Решение:

Пример 8. Найти частные производные функции .

Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим:

.

Аналогично, рассматривая x: как постоянную, будем иметь;

.

Пример 9. Найти частные производные функции трех аргументов

.

Решение. Рассматривая попеременно два аргумента как постоянные величины, получим:

Самостоятельно: Найти частные производные первого и второго порядка для функций

1. z=sin(x+y)

2. z=arcsin(xy)

3. z=ln(x-y)

Производные сложной функции. Экстремумы.

Цель:

• научить находить производные сложных функций и производные высших порядков.

• научить находить локальные экстремумы функций

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Необходимые условия

или не существуют

Решения этой системы дают стационарные точки Pi(xi,yi)

Достаточные условия

Условный экстремум

Функция u=f(M) при условиях _к(M)=0 к=1,2,…,т, М(х₁,х₂,…,х_п).

Функция Лагранжа

Необходимые условия экстремума

Решение системы даёт критические точки

Достаточные условия экстремума d²z>0 условный min, d²z<0 условный max.

Наибольшее M и наименьшее m функции z=f(x,y) достигается либо в точках экстремума, либо на границах отрезка .

Векторное поле

тензор векторного поля

Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции

z = х⁴ - 2х²у³ + у⁵ + 1.

Решение: Так как и , то

,

Пример 2. Найти , если , где .

Решение.

Пример 3. Найти и , если z=f (x,y), где x=uv, .

Решение.

Пример 4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Функция зависит от х и у через промежуточный аргумент , поэтому

Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:

, т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению.

Пример 5. Найти частные производные второго порядка от функции .

Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка:

Теперь дифференцируем вторично:

Заметим, что так называемую «смешанную» частную производную можно найти и иначе, а именно: .

Исследование функции двух переменных на экстремум

1. Найти частные производные функции и .

2. Решить систему уравнений и и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

 

Пример 6. Исследовать на экстремум функцию z=x³+3xy²-15x-12y.

Решение.

Найдем частные производные и составим систему уравнений

Или

Решая систему, получим четыре стационарные точки:

Найдем производные 2-го порядка

и составим дискриминант Δ=AC — B² для каждой стационарной точки.

1) Для точки : , Δ=AC—B²=36-144<0. Значит в точке экстремума нет.

2) Для точки P2: А=12, B=6, С=12; Δ=144-36>0, A>0. В точке Р2 функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при х=2, у=1: zmin=8+6-30-12=-28.

3) Для точки : A= -6, B=-12, С= -6; Δ = 36-144 <0. Экстремума нет.

4) Для точки Р₄: A=-12, B=-6, С=-12; Δ=144-36>0. B точке Р4 функция имеет максимум, равный Z_mах=-8-6+30+12=28.