Модуль 6 Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл Понятие неопределенного интеграла. Таблица интегралов

Цель: научить вычислять простейшие интегралы

Основные правила интегрирования.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Таблица основных неопределённых интегралов.

Правила интегрирования

Метод замены переменных .

Метод интегрирования по частям .

Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование.

Вычислить

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример

;

Пример 7.

Пример 8.

Пример 9.

Пример 10.

Пример 11.

Пример 12.

.

2. Способ подстановки (замены переменных).

Пример 1. Найти

Решение: Положим x=4t ,тогда. dx = 4dt . Следовательно

.

Пример 2. Найти

Решение: Пусть , тогда , . Поэтому

Пример 3. Получить формулу

Обозначим (подстановка Эйлера). Тогда .

Отсюда .

Стало быть

Пример 4. Найти

Решение: Обозначим e^x=t. Тогда x=lnt, . Следовательно,

.Здесь используется формула 16 таблицы основных интегралов.

3. Интегрирование по частям.

Пример 5. Найти

Решение: Пусть (можно положить С=0). Следовательно, по формуле интегрирования по частям:

Пример 6. Найти

Решение: . Поэтому .

Пример 7. Найти

Решение: Пусть . Поэтому

Для вычисления интеграла снова применим метод интегрирования по частям: . Значит, . Поэтому

Пример 8. Найти

Решение: Пусть . Поэтому

Самостоятельно:

Вычислить интегралы

Интегрирование элементарных и рациональных дробей

Цель: научить вычислять интегралы, содержащие дроби.

Интегрирование простейших дробей

Интегрирование произвольных рациональных функций

, где Pn-m(x) – целая часть, R(x) – остаток,

Пример 1. Найти

Решение: х²+2х+10=(х+1)²+9. Сделаем подстановку х+1= t.

Тогда х= t-1, dx=dt и

.

Пример 2. Найти интеграл

Решение: Здесь а=1, k=3. Так как

то ,

.

Пример 3. Найти интеграл

Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель:

- х⁵+2х³+4х+4 х⁴+2х³+2х²

х⁵+2х⁴+2х³ х-2

- -2х⁴+ 4х+4

-2х⁴-4х³-4х²

4х³+4х²+4х+4 (остаток)

Получаем:

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:

т.е. 4x³+4x²+4x+4=(A+C)x³+(2A+B+D)x²+(2A+2B)x+2B

Отсюда следует, что

Находим: B=2, A=0, C=4, D=2. Стало быть,

и

Интегрируем полученное равенство:

Обозначим х+1=t и dx=dt. Таким образом,

.

Следовательно, .

Пример 4.

Найдем неопределенные коэффициенты:

Самостоятельно: Вычислить интегралы:

.

Интегрирование тригонометрических функций

Цель: научить вычислять интегралы от тригонометрических функций.

Интегрирование тригонометрических функций

Универсальная тригонометрическая подстановка:

Интегрирование произведений:

Пример 1. Найти интеграл .

Решение: Сделаем универсальную подстановку . Тогда , , . Следовательно,

.

Пример 2 Найти интеграл

Решение: , то полагаем

. Отсюда Поэтому

.

Пример 3. Найти интеграл

Решение: Применим подстановку . Тогда .

.

Пример 4. Найти интеграл

Решение:

.

Пример 5. Найти интеграл

Решение: Здесь m+n=-4. Обозначим .

Тогда , .

=

Пример 6. Найти интеграл

Решение:

Самостоятельно:

Вычислить интегралы.

.