Радиус кривизны

Радиус кривизны y = f(x) в точке M0 .

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x)=x³-6x²+5.

Решение:

Функция определена на всей числовой оси, а ее производная равна

Функция f(x) возрастает тогда и только тогда, когда , т.е. (x-2)(x+2)>0, откуда

Аналогично, данная функция убывает в точности когда , т.е. (x-2)(x+2)<0, откуда

Таким образом, функция f(x) возрастает на интервалах а убывает на интервале (-2;2).

Пример 2. Найти экстремумы функции f(x)=x³-9x²+15x.

Решение:

Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой, причем

Критические точки x₁=1, x2=5.

Воспользуемся вторым достаточным условием экстремума, для чего найдем :

Поскольку а , то x=1 - точка локального максимума, причем f(1)=7. Аналогично, так как а , то x=5 -точка локального максимума, а f(5)= -25.

Пример 3. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции

Решение:

Функция определена и дважды дифференцируема на всей действительной оси. Находим вторую производную:

Отсюда получим: функция выпукла вверх тогда и только тогда, когда

т.е. или х

Функция выпукла вниз тогда и только тогда, когда т.е.

Таким образом, функция выпукла вверх на выпукла вниз на и на Откуда ясно, что точки и являются точками перегиба данной функции.

Пример 4. Найти асимптоты графика функции

Решение:

Функция непрерывна всюду, кроме точки x=1, в которой она терпит разрыв второго рода, причем

Отсюда следует, что прямая х=1 – вертикальная асимптота и других асимптот нет.

Проверим, есть ли у графика функции наклонные асимптоты.

Находим

откуда

Таким образом, прямая у=х – наклонная асимптота графика функции при . Аналогично получим, что эта прямая является наклонной асимптотой и при

Поскольку угловой коэффициент k наклонной асимптоты не равен нулю, то график функции не имеет горизонтальных асимптот.

Пример 5. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

1. Область определения D(f) функции – вся числовая ось, за исключением точек х=-2 и х=2, т.е. D(f)=(-∞;-2) (-2;2) (2;+∞).

2. Функция непериодическая; исследуем ее на четность и нечетность:

Следовательно, данная функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат.

Поэтому далее исследуем функцию только при x≥0, откуда y=f(0)=0.

3. М(0;0) – точка пересечения с осью О_у;

с осью О_х график пересекается, если f(x)=0, т.е. откуда х=0. Таким образом, М(0;0) – единственная точка пересечения графика с осями координат.

4. Находим интервалы знакопостоянства функции:

и так как мы рассматриваем только случай x≥0, то получаем 0<x<2.

Аналогично f(x)<0 при x>2.

5.

т.е. прямая х=2 – вертикальная асимптота. Отсюда, в силу симметрии, следует, что прямая х=-2 – также вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты:

т.е. прямая y=-x – наклонная асимптота при (то же и при ). Горизонтальных асимптот график не имеет.

6. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя первую производную:

Отсюда видно, что при x≥0 функция имеет максимум в точке (причем f( )=- ≈-5,2), возрастает на (0;2) и (2; ) и убывает на ( ;+∞).

7. Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим вторую производную:

Отсюда ясно, что при x≥0 функция выпукла вверх (т.е. ) на (0;2), х=0 – точка перегиба.

Учитывая накопленную информацию, строим график функции при x≥0, а затем симметрично отражаем его относительно начала координат.

Исследовать функцию и построить ее график: 1) 2)