Интегрирование некоторых иррациональных функций
Цель: научить вычислять интегралы от иррациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
.
.
Пример 1. Найти интеграл
Решение:
Так как
,
то
Сделаем подстановку
.
Тогда
Пример 2. Найти интеграл
Решение:
Так как
.
Сделаем подстановку
I=
=
Пример 3. Найти интеграл
Решение: По формуле (5.1) имеем:
.
Дифференцируя это равенство, получаем:
т.е.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :
Отсюда А=-
,
В=
,
=2. Следовательно,
Пример 4.
Найти интеграл
Решение: Наименьшее общее кратное
знаменателей дробей
и
есть 6. Поэтому полагаем
.
Следовательно,
.
Пример 5. Указать подстановку для нахождения интегралов:
,
Решение: Для I1
подстановка x=t2,
для I2
подстановка
.
Пример 6.
Найти интеграл
Решение: Положим
.
Тогда
Пример 7.
Найти интеграл
Решение: Так как x2+2x-4=(x+1)2-5, то x+1=t, x=t-1, dx=dt.
Поэтому
.
Положим
Тогда
Самостоятельно вычислить
Модуль 7 Интегральное исчисление функций одной переменной. Определенный интеграл Вычисление определенных и несобственных интегралов.
Цель: научить вычислять определенные и несобственные интегралы.
1. ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА:
Формула Ньютона-Лейбница:
= F(x)
= F(b)
- F(a).
Интегрирование подстановкой (х =
(t)):
.
Интегрирование по частям:
2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ:
I рода:
=
;
;
II рода:
=
;
=
;
=
+
I.Определенный интеграл:
Формула Ньютона-Лейбница:
Если для непрерывной на отрезке [а;b]
функции f(x)
может быть найдена ее первообразная
F(x),
то простым и удобным методом вычисления
определенного интеграла
является формула Ньютона-Лейбница:
При интегрировании четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования полезно использовать формулу:
.
Пример 1. Вычислить интеграл:
.
Решение: Подынтегральная функция
f(x)=x2
на отрезке [1;4] имеет первообразную
F(x)=
,
тогда по формуле Ньютона-Лейбница
имеем:
Пример 2 .
Вычислить интеграл
Решение:
Пример 3. Найти значение интеграла
Решение:
Пример 4. Вычислить
Решение: Под знаком интеграла стоит рациональная дробь. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей:
.
Тогда:
Отсюда
Находим, что A=1, B=0,
C=-1, D=2, E=0.
Итак,
.
II. Интегрирование подстановкой:
При вычислении определенных интегралов
часто используется метод подстановки
и метод замены переменной интегрирования.
Пусть для вычислении интеграла
от непрерывной функции сделана подстановка
.
Если функция
и ее производная
непрерывны на отрезке [α;β],
причем
, (1)
тогда справедлива формула:
(2)
Формула (2) называется формулой замены переменной интегрирования в определенном интеграле.
Пример 5. Вычислить интеграл
с помощью замены переменных.
Решение:
Применим подстановку
.
Тогда
.
x |
1 |
9 |
|
1 |
3 |
Применяя формулу (2), получим:
Пример 6. Вычислить интеграл
с помощью подстановки.
Решение: Предположим
.
Тогда получаем
.
x |
0 |
|
|
0 |
1 |
Следовательно,
.