5.9 Тема №9

Дифференциальные уравнения второго порядка

Задание 9.1 Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Задание 9.2 Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределённых коэффициентов.

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

5. а) ; б) .

6. а) ; б) .

7. а) ; б) .

8. а) ; б) .

9. а) ; б) .

10. а) ; б) .

Задание 9.3 Найти общее решение системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

5.10 Тема №10

Случайные события

При выполнении заданий 10.1 и 10.2 использовать формулы комбинаторики или теоремы сложения и умножения вероятностей.

Решение о выборе метода решения принять самостоятельно.

Задание 10.1

1. Наудачу взятый телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что в нем все цифры нечетные.

2. На отдельных карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все карточки тщательно перемешивают, после чего наугад берут четыре из них и раскладывают в порядке появления. Какова вероятность получить при этом: а) четное число; б) число 4239.

3. В библиотеку поступило 40 учебников, из них четыре с дефектом переплета. Найти вероятность того, что среди двух взятых наудачу учебников окажется один с дефектом переплета.

4. Из колоды в 36 карт наугад выбирают одну карту. Найти вероятность того, что это будет либо пика, либо туз.

5. Наугад выбираются четыре цифры и расставляются в случайном порядке. Какова вероятность того, что это четырехзначное число делится на пять.

6. Бросаются три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) кости выпадут разными гранями; б) на всех костях выпадет одинаковое число очков.

7. Каждый из шести призов в результате жеребьевки разыгрывается между десятью участниками. Какова вероятность того, что данные шесть участников получат по одному призу каждый?

8. Десять учебников, из них три по теории вероятностей, в случайном порядке поставлены на полку. Какова вероятность того, что три учебника по теории вероятностей окажутся рядом на полке?

9. В шкафу лежат вперемежку пять пар ботинок. Наугад выбирается два ботинка. Какова вероятность того, что они образуют пару?

10. Имеется 20 экзаменационных билетов, разложенных на столе в случайном порядке. Десять студентов один за другим выбирают наугад по одному билету. Какова вероятность того, что билеты с номерами 1 и 2 не будут выбраны?

Задание 10.2

1. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент знает все три вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете; б) студент знает только два вопроса своего экзаменационного билета; в) студент знает только один вопрос своего экзаменационного билета.

2. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность попадания цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.

3. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равно 0,9, второе – 0,95 и третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.

4. Два брата входят в состав двух различных спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеется по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат номер 6.

5. Из восьми книг, стоящих на полке, две художественные. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу четырех книг хотя бы одна художественная.

6. В коробке имеется 18 одинаковых катушек ниток, среди которых 9 катушек с красными нитками, 2 – с синими и остальные - с белыми. Какова вероятность того, что три вынутые наудачу катушки будут одного цвета.

7. В пакете находятся фрукты: 10 яблок, 3 груши и 8 лимонов. Из пакета случайным образом вынимают четыре фрукта. Найти вероятность того, что среди отобранных фруктов хотя бы один лимон.

8. Три радиолокационные станции следят за космическим кораблем. Корабль при одном цикле отбора обнаруживается станциями с вероятностями 0,7; 0,8; 0,9. . Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен: а) тремя станциями; б) не менее чем двумя; в) ни одной.

9. В первом ящике имеется 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором ящике – 30, из них 25 стандартных. Из каждого ящика наудачу берут по одной детали. Какова вероятность того, что: а) детали будут стандартными; б) хотя бы одна деталь стандартная; и) обе детали будут нестандартными?

10. В первой студенческой группе 20 человек; во второй – 25; в третьей – 16. На английском языке свободно говорят 10 человек из первой группы, 15 – из второй, 12 – из третьей. Из каждой группы выбрали одного студента. Найти вероятность того, что из выбранных студентов на английском языке говорят: а) двое; б) не менее двух; в) хотя бы один.

Задание 10.3

1. В каждой из двух урн находится 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что шар, вынутый из второй урны, окажется черным.

2. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливаются детали одного наименования. На первом станке изготавливается 10%, на втором – 30%, а на третьем 60% всех деталей. Для каждой детали вероятность быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке; 0,8, если она изготовлена на втором станке; 0,9, если она изготовлена на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

3. Двадцать процентов приборов оформляется с применением элемента А1, остальные – с применением элемента А2. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора с применением элемента А1 равна 0,9; с применением А2 – 0,8. Найти вероятность того, что прибор оформлен с применением элемента А1, если он работает надежно.

4. Сборщик получает 30% деталей, изготовленных на заводе №1; 20% - на заводе №2; остальные – на заводе №3. Вероятность того, что деталь завода №1 отличного качества, равна 0,9; эта вероятность для завода №2 – 0,8; для завода №3 – 0,6. Найти вероятность того, что случайно взятая сборщиком деталь отличного качества.

5. Имеется пять ящиков по 30 шаров, в каждом из которых содержится пять красных, и шесть ящиков по 20 шаров, в каждом из которых содержится четыре красных. Наудачу отобранный шар оказался красным. Какова вероятность того, что он принадлежит одному из первых пяти ящиков?

6. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 20%; второй – 50%; третий – 30% всех замков. Бракованная продукция для этих цехов составляет соответственно 5%; 4%; 2%. Найти вероятность того, что случайно отобранный замок будет бракованным.

7. В магазин на реализацию поступили ноутбуки от трех поставщиков, причем от первого поставщика поступило 50 ноутбуков; от второго – 30; от третьего – 20. К 70% ноутбуков первого поставщика, 80% второго и 90% третьего прилагается подарочный диск. Купленный ноутбук оказался с подарочным диском. Какова вероятность того, что он от первого поставщика?

8. На склад поступают изделия трех заводов. Продукция первого завода составляет 2000 изделий, второго – 3000, третьего – 1000. Известно, что средний процент нестандартного изделий первого завода равен 4, второго – 2, третьего – 1. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие на складе бракованное.

9. Три автомата на общий конвейер изготавливают детали. Производительности первого, второго и третьего относятся как 5:2:3. Вероятность изготовления бракованной детали для первого автомата равна 0,03, для второго – 0,02, для третьего – 0,01. Найти вероятность того, что случайно взятая деталь стандартна.

10. В магазин поступило три партии зонтиков от трех поставщиков. В первой партии – 100 зонтиков, из которых 2% бракованных. Во второй партии – 300 зонтиков, из которых 4% бракованных. В третьей партии – 6000 зонтиков, из которых 1% бракованных. Найти вероятность того, что случайно выбранный зонтик окажется бракованным.

Задание 10.4

1. Всхожесть семян лимона составляет 80%. Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдет: а) три; б) не менее трех; в) не более четырех.

2. Вероятность сбоя в работе АТС при каждом вызове равна 0,0005. Поступило 2000 вызовов. Определить вероятность того, что при этом произошло 4 сбоя.

3. Студент пытается пройти тестирование, используя метод «угадывания». Тест содержит 8 вопросов, на которые следует отвечать «да» и «нет». Найти вероятность того, что среди ответов студента правильных будет: а) пять; б) не менее пяти; в) более пяти.

4. Вероятность того, что лампа будет гореть в течение года, равна 0,64. В начале года для освещения города было подключено 2500 ламп. Найти вероятность того, что к концу года из этих ламп будут гореть не менее1552 и не более1600 ламп.

5. Вероятность сдать любой из пяти экзаменов для данного студента равна 0,5. Найти вероятность того, что из пяти экзаменов студент сдаст; а) один; б) хотя бы два; в) более двух экзаменов.

6. При транспортировке и разгрузке керамической плитки повреждается в среднем 1,5%. Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток поврежденных будет две.

7. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 900 раз.

8. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,07. Найти вероятность того, что в 1400 испытаниях событие наступит 28 раз.

9. В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди наудачу отобранных из этой партии 50 изделий ровно 5 окажутся дефектными.

10. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 225 испытаниях событие наступит не менее 75 раз и не более 90 раз.