3) Вычисление определителей разложением по строке/столбцу.

Формула разложения определителя A по столбцу 1, выглядит следующим образом :

det A = ( -1 ) 1+1 * a11 * M11 + ( -1 ) 2+1 * a21 * M21 + ( -1 ) 3+1 * a31 * M31 ,

где M i 1 - миноры соответствующих элементов столбца 1.

det A =		a11	a12	a13
		a21	a22	a23
		a31	a32	a33

4) Свойства определителей. Признаки равенства определителей нулю.

1. Определитель не меняется при транспонировании

2.  При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число

3. У матрицы, имеющей нулевую строку, определитель равен нулю

4. У матрицы, имеющей две равные строки, определитель равен нулю

5. Матрица, у которой две строки пропорциональны, имеет определитель равный нулю

6. При перестановке двух строк матрицы, определитель умножается на –1

7. Если сложить определители двух матриц, имеющих две равные строки, то их сумма будет равна определителю матрицы, которая имеет те же равные две строки и строку, составленную из сумм соответствующих элементов первой и второй матрицы.

8.  Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

5) Нахождение обратной матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента   квадратной матрицы   называют минор (n-1)-ого порядка, который получается из матрицы А, вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на 

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима).

2. Строим   - матрицу из алгебраических дополнений элементов 

3. Транспонируем матрицу  , тем самым получаем  .

4. Умножаем каждый элемент матрицы   на число  . Этой операцией завершается нахождение обратной матрицы  .

5. Проводим проверку результата, вычисляя произведения   и  . Если  , то обратная матрица найдена верно, в противном случае где-то была допущена ошибка.

6) Слау. Расширенная матрица.

Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными (p может быть равно n) вида    - неизвестные переменные,   - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа),   - свободные члены (также действительные или комплексные числа). Такую форму записи СЛАУ называют координатной. В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид  , где   - основная матрица системы,   - матрица-столбец неизвестных переменных,   - матрица-столбец свободных членов. Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть, Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных  , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение   при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество  .

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной. Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то –неопределенной. Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю  , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. 

Теорема Кронекера–Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений). Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.  . Ранг - количество ненулевых строк системы. Наивысший порядок отличного от нуля минора.