14) Двойное векторное произведение. Формула «бац минус цаб».
Тройно́е
ве́кторное произведе́ние (другое
название: двойное
векторное произведение) 
векторов 
— векторное
произведение вектора 
на
векторное произведение векторов 
и 
В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройным[1] (по числу векторов), так и двойным[2] (по числу операций умножения).
Формула Лагранжа
Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа,
которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».
Тождество Якоби
Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби
15) Разложение вектора по базису.
Определение: Базисом
трёхмерного пространства называется
тройка линейно независимых (некомпланарных)
векторов 
, взятых
в определённом порядке,
при этом любой вектор пространства единственным
образом раскладывается
по данному базису 
,
где 
–
координаты вектора 
в
данном базисе
Если определитель матрицы, составленной из трех векторов, не равен нулю, то вектора линейно независимы (не компланарны) и образуют базис.
Алгоритм:
Даны
векторы:
.
Показать,
что векторы 
образуют
базис трехмерного пространства и найти
координаты вектора 
в
этом базисе.
1. Проверяем, действительно ли векторы линейно независимы и образуют базис. Для этого составляем матрицу, состоящую из координат этих векторов, записанных в столбик, находим определитель, убеждаемся, что он отличен от нуля и делаем вывод, что вектора не компланарны и образуют базис.
2.
Поскольку наши векторы образуют базис,
можно единственным образом разложить
вектор b
по данному базису:
,
где 
–
координаты вектора
в
базисе 
.
В
целях нахождения
следует
расписать данное равенство покоординатно:
В
правую часть пишутся координаты вектора,
который и нужно разложить по базису.
3. Получилась СЛАУ. Необходимо решить её (предпочтителен метод Крамера) 4. Находим неизвестные переменные и подставляем их в формулу:
16) Признаки перпендикулярности и компланарности векторов
Компланарность - это когда три или более вектора, приведенные в общее начало, лежат в одной плоскости.
Свойства компланарности:
Пусть 
—
векторы пространства 
.
Тогда верны следующие утверждения:
Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
Смешанное произведение компланарных векторов
.
Это — критерий компланарности трёх
векторов.Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.
Существуют действительные числа
такие,
что 
для
компланарных
,
за исключением случаев 
или 
.
Это — переформулировка предыдущего
свойства и тоже критерий компланарности.В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис. То есть любой вектор
можно
представить в виде: 
.
Тогда 
будут
координатами
в
данном базисе.Если определитель матрицы, составленной из координат трех векторов, записанных в столбик, равен нулю, то такие вектора компланарны (линейно зависимы).
Два вектора называются перпендикулярными (ортогональными), если их скалярное произведение равно нулю(cos 90 = 0)