Свойства скалярного произведения
Коммутативность: a · b = b · a . Дистрибутивность: a · (b + c) = a · b + a · c . Сочетательность (линейность) относительно скалярного множителя: k · (a · b) = (k · a) · b = a · (k · b) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: a · a = |a|2 (норма вектора).
12) Векторное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение через координаты перемножаемых векторов.
Векторное произведение векторов
Результатом векторного перемножения двух векторов является вектор, длина которого равна произведению их модулей, умноженному на синус угла между ними, а сам вектор ориентирован таким образом, что перпендикулярен обоим исходным векторам, и тройка a b c является правой.
Вычисление векторного произведения
В алгебраической форме векторное произведение c = [a × b] в правой системе координат вычисляется как:
сx = ay · bz – az · by ;
сy = az · bx – ax · bz ; сz = ax · by – ay · bx .
|
Правая
тройка векторов и правая система
координат.
В левой системе координат знаки слагаемых меняются на противоположные.
В физике обычно подразумевается, что точки привязки всех перемножаемых векторов и результирующего вектора совпадают (и вектора-сомножители, и результат их векторного произведения действуют в одной и той же точке пространства).
Свойства векторного произведения
Антикоммутативность: [a × b] = –[b × a] . Дистрибутивность: [a × (b + c)] = [a × b] + [a × c] . Сочетательность относительно скалярного множителя: k · [a × b] = [(k · a) × b] = [a × (k · b)] . Смешанное произведение: a · [b × c] = [a × b] · c . Векторный квадрат вектора всегда является нулевым вектором: [a × a] = 0 . Поэтому, когда говорят о «квадрате вектора» без уточнения типа перемножения, имеют в виду скалярный квадрат (квадрат модуля вектора).
13) Смешанное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение через координаты перемножаемых векторов.
Смешанным
произведением трех векторов 
, 
, 
называется
число, равное скалярному произведению
вектора 
на
вектор
: 
Геометрический
смысл смешанного произведения: если тройка
векторов 
правая,
то их смешанное произведение равно
объему параллелепипеда построенного
на этих векторах: 
.
В случае левой тройки
смешанное
произведение указанных векторов равно
объему параллелепипеда со знаком
минус: 
.
Если
,
и
компланарны,
то их смешанное произведение равно
нулю.
Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:
Свойства смешанного произведения:
1° 
2° 
3°
Три вектора
компланарны тогда
и только тогда, когда 
4°
Тройка векторов является правой тогда
и только тогда, когда 
.
Если же 
,
то векторы
,
и
образуют
левую тройку векторов.
5° 
6° 
7° 
8° 
9° 
10°
Тождество Якоби: 
Если
векторы 
, 
и 
заданы
своими координатами, то их смешанное
произведение вычисляется по формуле
