26. Производная сложной функции

Общий вид:

y = f(g(x))

y' = f'(g(x))*g'(x)

Пример:

y = sin(3x+5)

y' = cos(3x+5)*(3x+5)' = 3cos(3x+5)

27. Параметрические и неявно заданные функции и их дифференцирование.

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример:

Найти производную функции у, заданную уравнением х³+у³-3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х³+у³-3ху=0. Из полученного соотношения

3х²+3у² у'-3(1 у+х у')=0

следует, что у²у'-ху'=у-х², т. е. у'=(у-х²)/(у²-х).

ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫЕ ФУНКЦИИ:

Зависимость функции y от аргумента x может осуществляться через посредство третьей переменной t, называемой параметром:  .  В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.  Предположим, что на некотором промежутке функции x=φ(t) и y=ψ(t) имеют производные, причем φ’(t)≠0. Кроме того, для x=φ(t) существует обратная функция x^-1 = t(x) (производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции).  Тогда y(x)=ψ(t(x)) – сложная функция и ее производная:  . Производную тоже запишем в параметрической форме: 

Пример 1. Найти производную функции y по x, заданной параметрически:    Решение.

28. Производные высших порядков. Их обозначение. Пример вычисления производной 2-го порядка.

Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'

Производные, порядка выше 4, обозначаются римскими цифрами или цифрами в скобках (5)

y = 5x^7+2x

y'' = (y')' = (35x^6+2)' = 210x^5

29. Теоремы Лагранжа и Роля. Их геометрический смысл.

Теорема Ролля: Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b);

3. на концах отрезка [a, b] принимает равные значения.

Тогда существует точка c  (a, b) такая, что f'(c) = 0.

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля

Из теоремы Ролля следует, что существует точка с  (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна оси ОX (рис. 1).

Теорема Лагранжа

Теорема (Лагранжа о конечных приращениях) Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Т огда существует число c (a,b), такое, что  Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке   найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.