9.2. Рыночная модель

Одна из самых распространенных моделей использует в качестве фактора F доходность рыночного индекса r_M. Рыночным индексом называется взвешенная сумма курсов акций наиболее значительных эмитентов финансового рынка. Например, в США наиболее распространены следующие индексы:

- DJ (индеек Доу-Джонса) – рассчитывается по 30 наиболее значимым корпорациям, таким как Microsoft, Coca Cola, General Motors и т.д.;

- индекс S&P 500 (Standart and Poor's) – рассчитывается по 500 наиболее крупным компаниям;

- сводный индекс NYSE – для его расчета используются курсы акций, зарегистрированных на Нью-Йоркской фондовой бирже.

Рыночная модель показывает, насколько доходность ценной бумаги соответствует экономической динамике страны (или даже сообщества стран).

Случайная величина ε отражает зависимость доходности ценной бумаги от обстоятельств, специфических именно для ее эмитента.

Каково содержание коэффициента β?

Если β больше 1, то доходность ценной бумаги растет или падает быстрее, чем рынок в целом. Такие бумаги называются «агрессивными». Если β = 1, то ценная бумага движется вместе с рынком. Если β меньше 1, то доходность ценной бумаги растет или падает медленнее, чем рынок в целом. Такие бумаги называются «оборонительными».

На инвестиционном рынке присутствуют и бумаги с нулевым коэффициентом β. В этом случае ожидаемая доходность ценной бумаги фиксирована и не зависит от состояния рынка в целом. Такая ситуация характерна, например, для облигаций.

9.3. Модели зависимости от касательного портфеля

Другим фактором, часто используемым в линейных регрессионных моделях. Является доходность некоторого выделенного портфеля ценных бумаг, который называется касательным. Это понятие было введено Г. Марковицем в 1952 г. В чем заключается это понятие?

Пусть на рынке обращается n ценных бумаг. Пусть капитал инвестируется в эти ценные бумаги. При этом x_i – доля капитала, инвестируемого в i-ю ценную бумагу.

Набор чисел P = x₁,…,x_n, удовлетворяющий условию x₁ + x₂ + … + x_n = 1, называется портфелем ценных бумаг. Вообще говоря. Некоторые числа {x_i} могут быть отрицательными. Эта ситуация соответствует продаже ценных бумаг без покрытия. Но, поскольку данный факт не добавляет много в содержательном смысле, то будем полагать, что значения {x_i} неотрицательные.

Каждому портфелю P соответствует случайная величина r – доходность, которая определяется аналогично доходности одной ценной бумаги. Доходность портфеля выражается следующим образом

.

Риском портфеля называется стандартное отклонение доходности - .

В общем случае целесообразно рассмотреть координатную плоскость, на которой по оси абсцисс откладывается стандартное отклонение доходности σ, а по оси ординат - математическое ожидание доходности (ожидаемая доходность) .

Каждому портфелю P может быть поставлена в соответствие точка на координатной плоскости (σ, r). Все множество допустимых портфелей отображается в некоторую двумерную фигуру, называемую допустимым множеством или множеством достижимых портфелей.

Пример.

Для портфеля из двух ценных бумаг X₁(x₁, r₁, σ₁) и X₂(x₂, r₂, σ₂) соотношение между доходностью и риском имеет следующий вид

Здесь

.

Рассмотрим три случая, предполагая, что .

1. Полная положительная коррелированность активов, т.е ρ₁₂=+1.

Тогда при любой структуре портфеля выполняется соотношение :

.

Т.е. при полной положительной корреляции активов портфеля диверсификация не влияет на величину его волатильности.

2. Полная отрицательная коррелированность активов, т.е ρ₁₂=-1. Тогда

,

поскольку и .

Отсюда

.

Т.е. при изменении доли первого актива x₁ от 0 до 0,5 значение σ_p уменьшается от σ до 0, а при изменении величины x₁ от 0,5 до 1 приводит к возрастанию параметра σ_p от 0 до σ. Следовательно, волатильность в зависимости от структуры портфеля находится в пределах от 0 до σ.

3) Отсутствие корреляции между активами, составляющими портфель, т.е. ρ₁₂=-0. В этом случае

.

Множество достижимых портфелей в данном примере можно проиллюстрировать на рисунке (В.И. Костин. Финансовый менеджмент в реальном секторе экономики. Стр. 183).

Инвестор предпочитает получить большую доходность с наименьшим риском, т.е. из двух портфелей с одинаковым значением инвестор выберет тот портфель, значение σ_p которого меньше. Это значит, что существует множество наиболее предпочтительных портфелей (на рисунке это линия АВ). Такое множество наиболее предпочтительных портфелей называется эффективным множеством.

При наличии множества эффективных портфелей возникает проблема выбора одного, оптимального для инвестора. Решение этой задачи может решаться путем увязывания с отношением инвестора к риску, что выражается в его критерии риск-доходность. Этот критерий отношения инвестора риску описывается так называемой кривой безразличия.

Оптимальным для каждого из инвесторов портфель ценных бумаг на графике представляется точкой касания эффективного множества портфелей и одной из кривых безразличия инвестора. Эта кривая соответствует самому высокому уровню удовлетворенности, который может получить инвестор, используя достижимые для него портфели.

То есть, кажется, что проблема выбора точки эффективного множества решается каждым инвестором индивидуально и зависит от склонности инвестора к риску. Однако, оказывается, что эффективному множеству принадлежит точка, которая является выделенной для всех инвесторов.

Для определения этой точки максимальной эффективности рассматривается прямая L, пересекающая ось ординат в точке r_f и касательную к эффективному множеству.

Отметим, что при одном и том же риске доходность портфелей, которым соответствуют точки, лежащие на прямой L, будет выше, чем доходность портфелей, лежащих на кривой АВ.

Отметим также, что справа от точки М линия L представляет портфели, где инвестор занимает средства для инвестирования в портфель М. Отметим, что инвестору, который хочет получить большую прибыль, чем дает портфель М, следует поступить именно таким образом, поскольку портфели на линии L справа от точки М дают более высокую прибыль, чем портфели на эффективной границе при том же уровне риска. Как правило, М - очень хорошо диверсифицированный портфель. Большинство портфелей, расположенных справа сверху и слева снизу на эффективной границе, имеют очень мало компонентов, портфели в середине эффективной границы, где проходит касательная, достаточно хорошо диверсифицированы. Традиционно считается, что все разумные инвесторы хотят получить максимальную прибыль при данном риске и принять наименьший риск при заданной прибыли. Таким образом, все инвесторы хотят быть где-то на линии L.  Другими  словами,  все  инвесторы  хотят  держать  один  и  тот  же портфель,  но  с  различной  долей  заемных  средств.

Уравнение прямой L имеет следующий вид

.

Рассмотрим портфель p = (x_f, x_M), где x_f – безрисковые вложения (положительные в случае приобретения облигаций и отрицательные при заеме средств) с фиксированной ставкой r_f, x_M – вложения в портфель, соответствующий точке М. Тогда

.

Поскольку ,

то получим

.

Отсюда следует, что точка лежит на прямой L.

Очевидно также, что любая точка полупрямой L, лежащая в первой четверти, достижима с помощью комбинации (x_f, x_M).

Итак, при наличии возможности безрискового предоставления и получения займов допустимое множество расширяется, эффективным множеством становится прямая L.

Портфель, соответствующий точке касания М, называется касательным портфелем.

Таким образом, оптимальный для любого инвестора стратегией оказывается инвестирование части средств в касательный портфель, а части – в безрисковые облигации.

На практике точное нахождение касательного портфеля невозможно. Но для многих практических целей оказывается полезной модель, в которой в качестве фактора выбрана доходность касательного портфеля, а точнее – разница между r_M и безрисковой ставкой r_f.

В этом случае F = r_M - r_f и модель имеет следующий вид

,

где i – номер ценной бумаги.