Глава 11. Статистическое изучение взаимосвязи показателей §1.Понятие статистической зависимости и ее виды

До сих пор мы рассматривали статистические выводы для моделей, соответствующих повторяющимся независимым наблюдениям над некоторым показателем Х. Однако при изучении многих социально-экономических процессов между показателями может существовать связь, при которой изменение одного или нескольких показателей влечет за собой изменение законов распределения других показателей Такая связь между показателями называется стохастической. Например, существует зависимость урожайности сельскохозяйственных культур Y от массы внесенных удобрений Х. Точно предсказать урожайность мы не можем, т.к. на нее влияет множество факторов (осадки, состав почвы и т.д.). Однако очевидно, что с изменением массы удобрений будет меняться и урожайность. В статистике изучаются наблюдаемые значенияпоказателей, поэтому стохастическую зависимость называют часто статистической зависимостью.

Итак, под статистической зависимостью между исследуемыми показателями Х и Y, будем понимать соответствие, устанавливающее каждому наблюдаемому значению показателя Х условное распределение наблюдаемых значений показателя Y.

Наиболее важной стохастической связью является связь, устанавливающая зависимость между значениями показателя Х и условным математическим ожиданием с.в. Y, т.е. .

Зависимости такого рода называются регрессионными, а функция функцией регрессии Y на Х.

В теории показывается, что условное математическое ожидание дает наилучший прогноз Y по Х в среднеквадратическом смысле.

На практике при обработке статистических данных находим оценку регрессионной связи, т.е. оценку функции регрессии: .

Функция регрессии содержит неизвестные параметры , для определения которых используется метод наименьших квадратов (МНК), который мы рассмотрим ниже.

Итак, регрессия – это односторонняя стохастическая зависимость, устанавливающая соответствия между показателями.

В зависимости от числапоказателей, описывающих социально-экономический процесс различают парную и множественную регрессию.

Например, парная регрессия – это регрессия между затратами на производство (показатель Х) и объемом продукции, производимой предприятием (показатель Y). Множественная регрессия – это регрессия между производительностью труда (показатель Y) и уровнем механизации производственных процессов, фондом рабочего времени, материалоемкостью, квалификацией рабочих. (показатели ).

По форме различают линейную и нелинейную регрессии, т.е. регрессии, выражаемые линейной и нелинейной функциями.

Пример.

1. - парная линейная регрессия.

2. - квадратическая или параболическая регрессия.

3. - множественная линейная регрессия.

§2.Метод наименьших квадратов. Выборочное уравнение парной линейной регрессии.

Пусть задана некоторая функция вид которой известен, но неизвестны параметры ; при этом функция линейна относительно этих неизвестных параметров. При различных значениях измерены с ошибками значения соответствующих им . Модель таких измерений можно определить равенством:

(1)

Предположим, что ошибки измерений - независимые нормально распределенные с.в. с (нет систематических ошибок) и . По статическим данным требуется определить неизвестные параметры . Для получения оценок используют метод наименьших квадратов (МНК), разработанный К. Гауссом и А.А. Марковым. Суть его состоит в том, что в качестве оценок выбираются значения , минимизирующие сумму квадратов ошибок, т.е.:

Т.о. предполагая, что минимум существует, оценки находят из системы уравнений:

Эти уравнения называются нормальными.

Рассмотрим МНК в случае нахождения выборочного уравнения парной линейной регрессии.

Пусть имеются результаты наблюдений . Предположим, что эмпирическая функция регрессии имеет вид: . Необходимо найти . Составим сумму квадратов отклонений:

Найдем частные производные по а и в:

Откуда нетрудно получить , , где

а

Т.о. получили выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х.

-

Замечание: Выборочный коэффициент регрессии обозначается следующим образом:

.

При построении выборочного уравнения парной линейной регрессии полученные оценки и являются с.в. При этом возможные значения оценок рассеиваются вокруг истинных значений параметров. Чтобы определить меру рассеивания вычисляют средние квадратические ошибки коэффициентов и .

Стандартная ошибка параметров регрессии используется для оценки качества подбора функции регрессии.