Вопрос 20. Корень многочлена. Теорема Безу (с доказательством), следствия. Делимость двучлена на двучлен .

Моё примечание: в вопросе, в той его части, которая мной выделена красным нет формул этих двух двучленов и , их вставил я, Т.к. насколько я знаю, говорить о делимости произвольного двучлена на произвольный двучлен в общем виде бессмысленно.

Число является корнем многочлена если =0.

Теорема Безу.

Теорема Безу. Если  произвольное число, то при делении многочлена на двучлен получается остаток равный значению многочлена от , т.е. = .

Для многочлена и двучлена существует единственное представление =  + . Найдём значение =  + = 0+ = . Что и требовалось доказать.

Остаток от деления многочлена на двучлен .

По теореме Безу остаток от деления многочлена = на двучлен равен = .

Теорема о корне. (Необходимое и достаточное условие того, что число а является корнем многочлена).

Теорема о корне (следствие теоремы Безу). Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на двучлен без остатка.

Для многочлена и двучлена существует единственное представление =  + .

Т.к. является корнем многочлена то =0, но =  + = = 0+ = . Следовательно, =0 и =  , т.е. делится на .

Обратно, если делится на , то =0 и =  = 0=0.

Некоторые частные случаи корней многочлена.

Число 0 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда его свободный член равен 0.

Действительно =0

Число 1 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов равна 0.

Действительно =0

Число 1 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов при четных степенях переменной равна сумме коэффициентов при нечетных степенях переменной ( считается коэффициентом при четной степени).

Действительно =0

Вопрос 21. Кратность корня, понятие об основной теореме алгебры и следствия из нее. Формулы Виета (с выводом).

Если многочлен делится без остатка на двучлен ровно n раз, т.е. делится без остатка на , причём n – наибольшая возможная степень, то число называют n – кратным корнем многочлена .

Другое определение: Если многочлен делится без остатка на двучлен , но не делится без остатка на , то число называют корнем кратности n.

Некоторые понятия о комплексных числах.

Число i, такое, что , называют «мнимой» единицей.

Число, которое можно записать в виде , где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, называют комплексным.

Числа и называются комплексно сопряженными.

Сумма и произведение комплексно сопряжённых чисел есть действительное число.

Действительно, + = , .

Основная теорема алгебры (без доказательства). Любой многочлен степени имеет на множестве комплексных чисел ровно n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Теорема (без доказательства). Если комплексное число , где является корнем многочлена , то и сопряжённое с ним комплексное число - также является корнем многочлена .

Следствие 1. Любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения множителей с действительными коэффициентами степени не выше 2. Действительно, если корень – действительное число, то . Если корень - комплексное число , то - тоже его корень, и тогда .

Следствие 2. Любой многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет, по крайней мере, один действительный корень. Действительно, т.к. любой многочлен раскладывается на многочлены степени не выше второй, а сумма степеней множителей должна равняться степени многочлена, то при нечётной степени многочлена, по крайней мере, один множитель будет линейным.

Обобщенная теорема Виета.

Если старший коэффициент многочлена отличен от 0, и многочлен имеет ровно n действительных корней, то

Доказательство:

Пусть . Тогда можно записать, что,

Пусть , , …, - его корни. Тогда . Перемножим все двучлены и приведём подобные слагаемые. Получим: .

По определению равных многочленов, коэффициенты при одинаковых степенях переменной должны быть равны. Приравниваем коэффициенты и получаем требуемые формулы.

Следствие. Если старший коэффициент многочлена равен 1, и многочлен имеет ровно n действительных корней, то

Следствие. Если старший коэффициент многочлена равен 1, и все его корни являются целыми числами, то корни многочлена являются делителями свободного члена.