Вопрос 22. Уравнение с целыми коэффициентами, теорема о целых корнях и теорема о рациональных корнях (с доказательством).

Алгебраическим уравнением с целыми коэффициентами называют уравнение вида , где многочлен степени , все коэффициенты которого – целые числа.

Корнем уравнения называется корень многочлена .

Решить уравнение, это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

Теорема о рациональных корнях многочлена.

Если многочлен , где , с целыми коэффициентами имеет рациональный корень (дробь - несократима), то - делитель свободного члена , а - делитель старшего коэффициента .

Доказательство.

Пусть , где - несократимая дробь, корень многочлена . Тогда , т.е.

.

Умножим обе части равенства на , и получим , причем все слагаемые – целые числа. Перенесем первое слагаемое в правую часть .

Все слагаемые левой части делятся на , значит и вся левая часть делится на . Следовательно, правая часть делится на . Но, т.к. дробь - несократима, то числа и - взаимно простые, и - на не делится. Значит, на делится .

Если в равенстве перенести в правую часть последнее слагаемое, то получим , где левая часть делится , а на не делится, значит на делится .

Следствие (Теорема о целых корнях многочлена) Если - многочлен с целыми коэффициентами, а его корень - целое число, то - делитель свободного члена многочлена.

Следствия из теоремы о целых корнях многочлена.

Следствие 1. Целыми корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть только делители свободного члена.

Следствие 2. Если многочлен с целыми коэффициентами и коэффициентом при старшем члене равным 1, имеет рациональный корень, то этот корень – целое число.

Действительно, если - корень, то q – делить 1, т.е. , а значит - целлон число.

Вопрос 23. Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла поворота, знаки в различных четвертях, основное тригонометрическое тождество и следствия из него (с выводом).

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе .

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе .

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему .

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему .

П ричём ни синус, ни косинус, ни тангенс, ни котангенс не зависят от размеров треугольника, а зависят только от градусной меры угла.

Введём на плоскости Декартову систему координат.

Построим в ней окружность радиуса 1, с центром в начале координат.

Расположим прямоугольный треугольник, с гипотенузой равной 1 так, чтобы вершина острого угла совпадала с началом координат, один из катетов лежал на неотрицательной полуоси абсцисс, а гипотенуза была расположена в I координатной четверти. Тогда второй конец гипотенузы Р будет лежать на окружности. Обозначим координаты этой точки Р . Получаем, что длина катета, прилежащего к углу равна , а длина катета, противолежащего к углу равна

Тогда получаем, что , , и . Таким образом, мы установили соответствие между тригонометрическими функциями угла, образованного лучом ОР с положительным направлением оси абсцисс и координатам точки пересечения луча с единичной окружностью, имеющей центр в начале координат. Поэтому эта окружность называется «тригонометрической».

Углом поворота назовём угол, между начальным и конечным положениями радиус-вектора, при вращении относительно его начала.

За начальное положение радиус-вектора примем такое его положение, когда его начало расположено в начале координат, а его направление совпадает с положительным направлением оси абсцисс.

За положительное направление поворота примем поворот от оси абсцисс к оси ординат (т.е. против часовой стрелки).

Пусть после поворота радиус-вектора на угол его конец оказался в точке Р . Тогда синусом угла мы будем называть ординату точки Р, т.е. , косинусом угла мы будем называть абсциссу точки Р, т.е. , тангенсом угла мы будем называть отношение ординаты точки Р к её абсциссе т.е. , а котангенсом – отношение абсциссы к ординате т.е. .