Вопрос 11. Определение возрастающей и убывающей функций. Теорема о монотонной функции (с доказательством), следствия из нее.

Функция , определённая на множестве X, называется возрастающей на множестве , если для любых и из множества М таких, что < справедливо равенство < . ( ).

Функция , определённая на множестве X, называется убывающей на множестве , если для любых и из множества М таких, что < справедливо равенство > . ( ).

Функция, являющаяся или возрастающей, или убывающей на множестве М называется строго монотонной на множестве М.

Если множество М совпадает с областью определения функции, то функция, обладающая одним из этих двух свойств, называется строго монотонной, и соответственно или возрастающей, или убывающей.

Теорема о монотонной функции (теорема о корне) Если функция  возрастающая (убывающая) на множестве М, и А, – любое значение, принимаемое функцией на М, то уравнение =А имеет на множестве М единственный корень.

Пусть  возрастающая и такое, что =А, тогда, для любого или < , или < , а значит, или < или < , т.е. .

Следствие: Если функция  возрастающая (убывающая) на множестве М, то уравнение =А имеет на множестве М не более одного корня.

Действительно, если А принадлежит области значений функции, то корень единственный, а если А не принадлежит области значений функции, то корней нет.

Вопрос 12. Монотонные функции, свойства монотонных функции. Теорема о сумме монотонных функций (с доказательством), следствия из нее.

Функция , определённая на множестве X, называется возрастающей на множестве , если для любых и из множества М таких, что < справедливо равенство < . ( ).

Функция , определённая на множестве X, называется убывающей на множестве , если для любых и из множества М таких, что < справедливо равенство > . ( ).

Функция , определённая на множестве X, называется неубывающей на множестве , если для любых и из множества М таких, что < справедливо равенство . ( ).

Функция , определённая на множестве X, называется невозрастающей на множестве , если для любых и из множества М таких, что < справедливо равенство . ( ).

Функция, являющаяся или возрастающей, или убывающей или невозрастающей, или неубывающей на множестве М называется монотонной на множестве М.

Если множество М совпадает с областью определения функции, то функция обладающая одним из этих четырёх свойств называется монотонной, и соответственно или возрастающей, или убывающей или невозрастающей, или неубывающей.

Свойства монотонных функций.

1. Если функции и  возрастающие (убывающие) на множестве М, то и функция +  возрастающая (убывающая) на множестве М.

2. Если функции и  невозрастающие (неубывающие) на множестве М, то и функция +  невозрастающая (неубывающая) на множестве М.

Действительно, если и  возрастающие, то из < следует, что < и < . Складывая неравенства почленно получаем: + < + .

Остальные три случая доказываются аналогично.