Вопрос 8. Упорядоченная пара, равенство упорядоченных пар. Декартово произведение множеств а и в, декартов квадрат множества а.

Два элемента a и b называются упорядоченной парой, если указано, какой из этих элементов первый, какой второй, при этом .

Упорядоченную пару элементов a и b обозначают символом (a, b).

Декартово произведение множеств — множество А×В всех упорядоченных пар элементов (a, b), из которых a принадлежит множеству A, b — множеству B. Порядок следования пар может быть любым, но расположение элементов в каждой паре определяется порядком следования перемножаемых элементов. Поэтому A×B ≠ B×A, если B ≠ A.

Если множества А и В совпадают, то их декартово произведение называют декартовым квадратом множества А.

Свойства декартова произведения множеств.

1) ; 2) ; 3) .

Пусть даны n множеств А₁, А₂, … А_n. Тогда декартовым произведением этих множеств будет упорядоченный набор n элементов (a₁, a₂, … a_n,), где .

Упорядоченный набор n элементов также называют кортежем длины n.

Вопрос 9. Соответствия, область определения и область значений соответствий, способы задания соответствий, граф и график соответствий, полный образ и полный прообраз.

Соответствием между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.

Множество первых координат упорядоченных пар, принадлежащих соответствию, называется областью определения, а множество вторых – областью значения соответствия.

Таким образом, область определения является подмножеством множества X, а область значения, - подмножеством множества Y.

Поскольку, соответствие, по определению, является подмножеством, значит, оно является множеством. Таким образом, способы задания соответствия совпадают со способами задания множества (см. вопрос 4, последние строки)

Г рафом в математике называется конечная совокупность точек, называемых вершинами графа; некоторые из них соединены друг с другом линиями, которые называются ребрами графа.

Таким образом, граф существует только для соответствий между конечными множествами.

На рисунке изображены конечные множества X и Y и граф соответствия между ними(данное соответствие не является функцией).

Графиком соответствия является множество точек на координатной плоскости, координаты которых являются элементами (упорядоченными парами) соответствия. Таким образом, график соответствия существует только для соответствий между числовыми множествами.

Если элементу x из множества X соответствует элемент y из множества Y, то y называется образом элемента x, а x - прообразом элемента y.

Множество A всех элементов , имеющих один и тот же образ , называется полным прообразом элемента y.

Множество В всех элементов , имеющих один и тот же прообраз , называется полным образом элемента x.

Вопрос 10.

Определение числовой функции, область определения, область значений, способы задания функций, график функции.

Соответствие f между элементами множества X и элементами множества Y, при котором каждому элементу из X ( ) соответствует не более одного элемента из Y ( ) называется функцией (обозначается ).

Множество элементов , для каждого из которых существует соответствующий элемент , называется областью определения функции (обозначается или ).

Множество элементов , каждый из которых соответствует какому-нибудь элементу , называется областью (множеством) значений функции (обозначается или ).

Поэтому функцию можно определить и так: « Соответствие, при котором каждому элементу из области определения соответствует ровно один элемент из области значений, называется функцией».

Если множества X и Y являются числовыми, то и функция называется числовой

Множество точек плоскости с координатами называется графиком числовой функции.

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Существует множество способов задания функции. К наиболее часто встречаемым относятся аналитический, когда функция задаётся формулой, графический, когда функция задаётся графиком, словесный или описательный, когда функция задаётся свойством описываемым словами, перечислением (как правило, для конечных функций, содержащих небольшое количество членов, в частности табличный), рекуррентный, как правило, для функций определённых на множестве натуральных чисел (последовательностей), при рекуррентном способе, как правило, задаётся значение функции для 1 и закон, по которому, зная значение функции для n, можно найти значение для (n+1).