1. Проблема гетероскедастичности

Предположение о постоянстве и конечности дисперсии остатков называется свойством гомоскедастичности остатков. В практических исследованиях это свойство случайной ошибки модели регрессии не всегда выполняется и дисперсия остатков не является постоянной. Такое явление называется гетероскедастичностью.

Гетероскедастичность часто вызывается ошибками спецификации, когда не учитывается в модели существенная переменная.

Гетероскедастичность приводит к тому, что оценки коэффициентов регрессии не являются эффективными, увеличиваются дисперсии распределений оценок коэффициентов, появляется вероятность неверного вычисления оценок стандартных ошибок коэффициентов модели регрессии, которые будут смещенными.

Проблема гетероскедастичности характерна для пространственных данных, полученных от неоднородных объектов.

В настоящее время для оценки нарушения гомоскедастичности предложено большое число тестов. Наиболее часто используются графический анализ отклонений, тест ранговой корреляции Спирмена.

При множественной регрессии осуществляется графический анализ корреляционных полей объясняемой переменной в зависимости от каждого из факторов .

Наличие гетероскедастичности в остатках регрессии можно проверить и с помощью теста ранговой корреляции Спирмена. При выполнении теста предполагается, что абсолютные величины остатков и значения объясняющей переменной коррелированны. Эту корреляцию можно измерять с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена:

,

где – разность между рангом и рангом модуля остатка .

Тест проводится по следующей схеме:

1. Строится линейная модель регрессии.

2. Данные по и модули остатков ранжируются по переменной , определяются их ранги (ранг – это порядковый номер значений переменной в ранжированном ряду).

3. Осуществляется проверка основной гипотезы об отсутствии гетероскедастичности с помощью -статистики, которая определяется равенством Если , то нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Если гетероскедастичность вызвана ошибками спецификации, то для ее устранения необходимо включить в уравнение пропущенные существенные переменные и подобрать правильную функциональную форму.

2. Автокорреляция остатков регрессионной модели

Метод наименьших квадратов позволяет получить несмещенные и эффективные оценки коэффициентов регрессионного уравнения только тогда, когда остатки независимы друг от друга. Нарушение этого условия называется автокорреляцией.

Что касается пространственных выборок, то для них автокорреляция отсутствует. Она обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов.

Автокорреляция остатков модели регрессии – это корреляционная зависимость между настоящими и прошлыми значениями остатков.

В экономических задачах чаще встречается положительная автокорреляция , чем отрицательная . Если неучтенная в уравнении переменная действует на зависимую переменную постоянно позитивно или негативно, то это приводит к положительной автокорреляции. Она более характерна для экономического анализа.

Графически положительная автокорреляция выражается в чередовании зон, в которых наблюдаемые значения оказываются выше объясненных регрессией, и зон, в которых наблюдаемые значения ниже. Отрицательная автокорреляция встречается в тех случаях, когда наблюдения действуют друг на друга по принципу маятника – завышенные значения в предыдущих наблюдениях приводят к занижению их в наблюдениях последующих. Графически это выражается в том, что результаты наблюдений слишком часто перескакивают через линию регрессии.

Причиной автокорреляции может быть либо неверная спецификация модели, либо наличие неучтенных факторов. Однако устранение этих причин не всегда дает нужные результаты. Автокорреляция имеет и собственные внутренние причины, связанные с автокорреляционной зависимостью.

Последствия автокорреляции остатков модели регрессии схожи с последствиями гетероскедастичности:

1) Оценки параметров модели регрессии остаются несмещенными и состоятельными, но теряется эффективность.

2) Дисперсии оценок являются смещенными. При этом, как правило, оценка дисперсии регрессии занижает истинное значение.

3) Появляется вероятность неверного вычисления оценок стандартных ошибок коэффициентов модели, что может привести к принятию неверной гипотезы о значимости коэффициентов регрессии и значимости модели в целом. Тем самым ухудшаются прогнозные качества модели.

Существуют различные методы определения автокорреляции. Наиболее распространенными являются следующие два:

1. Построение графика зависимости остатков от их порядковых номеров и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.

2. Использование критерия Дарбина–Уотсона и расчет величины .

Статистическая независимость отклонений может быть количественно оценена по некоррелированности соседних величин отклонений с помощью коэффициента автокорреляции первого порядка , вычисляемого по формуле

.

Поэтому критерий Дарбина–Уотсона основан на следующем соотношении, связывающим статистику DW с коэффициентом автокорреляции первого порядка :

.

Если , то , если , то . Во всех случаях . Практически, если статистика Дарбина–Уотсона близка к двум, отклонения от модели регрессии считаются случайными.

Общая схема критерия Дарбина–Уотсона следующая:

1. По построенному эмпирическому уравнению регрессии рассчитывают значения отклонений для каждого наблюдения .

2. По формуле рассчитывают величину DW.

3. По таблицам критических точек Дарбина–Уотсона определяют пороговые значения и в зависимости от уровня значимости, количества наблюдений и числа объясняющих переменных.

Рис. 1. Тест Дарбина–Уотсона

– граница для признания положительной автокорреляции остатков; – граница признания отсутствия автокорреляции остатков; 1 – зона неопределенности в случае предполагаемой положительной автокорреляции; 2 – зона неопределенности при отрицательной автокорреляции

Статистика Дарбина–Уотсона имеет два критических значения: нижнее как граница для признания положительной автокорреляции остатков и верхнее – граница признания ее отсутствия. Для проверки гипотез об отрицательной автокорреляции эти критические значения отражаются симметрично относительно числа 2, что видно на рис. 5.1. Если величина расчетного значения статистики Дарбина–Уотсона меньше, чем , то делают вывод о наличии положительной автокорреляции; если , то положительная автокорреляция отсутствует. При имеет место зона неопределенности, когда не можем ни отклонить, ни применять нулевую гипотезу.

Недостатками критерия Дарбина–Уотсона является наличие области неопределенности критерия, а также то, что критические значения DW-статистики определены для объемов выборки не менее 15. Если фактическое значение DW критерия Дарбина–Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу об отсутствии автокорреляции.

Действия по устранению автокорреляции необходимо начинать с проверки спецификации модели, поскольку всегда существует вероятность того, что обнаруженная автокорреляция связана с пропущенной переменной или использованием неправильной функциональной формы уравнения.