57.Интегрирование по частям

Рассмотрим функции   и  , которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

Полученное равенство перепишем в виде:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл   можно свести к нахождению интеграла  , который может быть более простым.

Замечание

В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.

Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:

1)    ;      ;   

Здесь   - многочлен степени  ,   - некоторая константа. В данном случае в качестве функции   берется многочлен, а в качестве   - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется   раз.

58.Классы интегрируемых функций

1 тип 2 тип

3 тип: смешанный тип

.Интегрирование рациональных дробей

Определение. Рациональной дробью называется дробь вида , где

многочлены степеней n и m соответственно.

III.Интегрирование простейших иррациональностей

1)Если интеграл содержит линейную иррациональность , то полезна подстановка =t.

2)

. Применим подстановку Эйлера

3)

При a<0 подкоренное выражение путем группировки и выделения полного квадрата сводится к выражению вида , тогда данный интеграл разбивается на два: один степенной (как в п.3), а другой из которых вида:

1.

а)m или n-нечетное, то интеграл берется непосредственно

б)m и n-четные. Используются формулы понижения

используют формулу

в) m и n-нечетные, то при некоторыхm и n

60 Рациональная функция теорема о представлении

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид

л

где   ,    — многочлены от любого числа переменных.

Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:

, где P(x) и Q(x) — многочлены. Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Теорема Правильную рациональную функцию одной переменной x можно единственным образом представить в виде суммы элементарных дробей

A/ (x − a)k  ,          Mx + N/ (x2 + 2px + q)k         (p2 − q < 0),

где A , M , N , a , p , q — действительные числа и k — натуральные числа.

В этой сумме каждому действительному нулю a кратности k знаменателя Q_n(x) соответствуют k слагаемых

A /x − a    +    A1 /(x − a)2    +   …   +    Ak /(x − a)k  .

Каждой паре комплексно сопряженных нулей кратности k знаменателя Q_n(x) (являющихся нулями квадратного трехчлена x² + 2px + q ) соответствуют kслагаемых

M1x + N1 /(x2 + 2px + q )   +    M2x + N2 /(x2 + 2px + q)2    +   …   +    Mlx + Nl /(x2 + 2px + q)l  .

Представление правильной рациональной функции в виде суммы элементарных дробей называется разложением на элементарные дроби.

Коэффициенты элементарных дробей, фигурирующих в разложении, однозначно определяются условием тождественности правильной рациональной функции и ее разложения.