Что значит найти асимптоты графика функции?

Это значит выяснить их уравнения, ну и начертить прямые линии, если того требует условие задачи. Процесс предполагает нахождение пределов функции.

Вертикальные асимптоты графика функции

Вертикальная асимптота графика, как правило, находится в точке бесконечного разрыва функции. Всё просто: если в точке   функция   терпит бесконечный разрыв,  то прямая, заданная уравнением   является вертикальной асимптотой графика.

Примечание: обратите внимание, что запись   используется для обозначения двух совершенно разных понятий. Точка подразумевается или уравнение прямой – зависит от контекста.

Таким образом, чтобы установить наличие вертикальной асимптоты   в точке   достаточно показать, что хотя бы один из односторонних пределов   бесконечен. Чаще всего это точка, где знаменатель функции равен нулю. По существу, мы уже находили вертикальные асимптоты в последних примерах урока о непрерывности функции. Но в ряде случаев существует только один односторонний предел, и, если он бесконечен, то снова – любите и жалуйте вертикальную асимптоту. Простейшая иллюстрация:   и ось ординат (см. Графики и свойства элементарных функций).

Из вышесказанного также следует очевидный факт: если функция непрерывна на  , то  вертикальные асимптоты отсутствуют. На ум почему-то пришла парабола. Действительно, где тут «воткнёшь» прямую? …да… понимаю… последователи дядюшки Фрейда забились в истерике  =)

Обратное утверждение в общем случае неверно: так, функция   не определена на всей числовой прямой, однако совершенно обделена асимптотами.

Наклонные асимптоты графика функции

Наклонные (как частный случай – горизонтальные) асимптоты могут нарисоваться, если функция стремится к «плюс бесконечности» или/и «минус бесконечности». Поэтому график функции не может иметь больше 2-х наклонных асимптот. Например, график экспоненциальной функции   обладает единственной горизонтальной асимптотой при  , а график арктангенса   при   – двумя такими асимптотами, причём различными.

Когда график и там и там сближается с единственной наклонной асимптотой, то «бесконечности» принято объединять под единой записью  . Например, …правильно догадались:  .

Общее практическое правило:

Если существуют два конечных предела  ,  то прямая   является наклонной асимптотой графика функции   при  . Если хотя бы один из перечисленных пределов бесконечен, то наклонная асимптота отсутствует.

Примечание: формулы остаются справедливыми, если «икс» стремится только к «плюс бесконечности» или только к «минус бесконечности».

Докажем, что у параболы   нет наклонных асимптот:

Предел бесконечен, значит, наклонная асимптота отсутствует. Заметьте, что в нахождении предела   необходимость отпала, поскольку ответ уже получен.

Примечание: если у вас возникли (или возникнут) трудности с пониманием знаков «плюс-минус», «минус-плюс», пожалуйста, посмотрите справку в начале урока  о бесконечно малых функциях, где я рассказал, как правильно интерпретировать данные знаки.

Очевидно, что у любой квадратичной, кубической функции, многочлена 4-ой и высших степеней также нет наклонных асимптот.

А теперь убедимся, что при   у графика   тоже нет наклонной асимптоты. Для раскрытия неопределённости используем правило Лопиталя: , что и требовалось проверить.

При   функция   неограниченно растёт, однако не существует такой прямой, к которой бы её график приближался бесконечно близко.