64Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Интегрирование функций вида 

Интегралы типа  где a, b, c, d — действительные числа,  , сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки

где p — наименьшее общее кратное знаменателей чисел  Действительно, из подстановки   следует, что   и  , т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби   выражается через рациональную функцию от t.

Примеры

1)Найти  . Сделав подстановку

будем иметь

2) Найти интеграл   Наименьшее общее кратное знаменателей дробей   и   есть 6. Сделав замену

будем иметь

65Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера

Пусть   - рациональная функция своих аргументов   и  , т. е. над    и   совершаются только арифметические операции, чтобы получить  . Например,

 - рациональная функция, а

 - не является рациональной.

I. В ы ч и с л и т ь  , где   - постоянные числа,  -натуральное число,  ,   - рациональная функция.

Функцию вида   называют дробно-линейной иррациональностью.

Покажем, что замена   рационализирует интеграл. В самом деле,  , откуда   - рациональная функция от  . Далее,

.

Поэтому

,

где   - рациональная функция по  , интегрировать которую мы умеем.

П р и м е р  1. Вычислить   . Здесь  . Полагая  , получим  ,  ,   . Таким образом,

л .

П р и м е р   2.

.

II. Вычислить  , где   - постоянные числа. Функцию   будем называть квадратичной иррациональностью.

Если трехчлен   имеет действительные корни  ,  , то      и

и дело сводится к случаю 1.

Поэтому будем считать, что   не имеет действительных корней и  . Тогда рационализация интеграла может быть достигнута с помощью подстановки Эйлера:

.

Отсюда  , т. е.   - рациональная функция от  . Но тогда

- также рациональная функция от  . Поэтому

.

З а м е ч а н и е. Если  , а    , то можно сделать замену

.

П р и м е р  3. Вычислить  . Бином   не имеет действительных корней. Поэтому полагаем

и

.

Отсюда

.

В силу этого

.

III. И н т е г р и р о в а н и е    в ы р а ж е н и й      . Рационализация   достигается с помощью подстановки  , которая называется универсальной. В самом деле

,

,

поэтому

.

Если функция   обладает свойствами четности или нечетности по переменным   или  , то могут употребляться и другие подстановки, также рационализирующие интеграл.

Пусть

,

где   и   - многочлены от   и  .

1) Если один из многочленов  ,   четный по  , а другой – нечетный по  , то подстановка   рационализирует интеграл.

2) Если один из многочленов   ,   четный по  , а другой – нечетный по  , то подстановка   рационализирует интеграл.

3) Если   и  : а) оба не изменяются при замене   соответственно на   или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой   (или  ).

П р и м е р ы:

.   .

.  .

В данном случае  , т. е. числитель нечетный относительно  , а знаменатель четный по  , и мы имеем дело со случаем  .

   .

Здесь числитель  , а знаменатель  . Оба не меняются при замене   соответственно на  , т. е. мы имеем дело со случаем 

ЭЙЛЕРА ПОДСТАНОВКА

- замена переменной х=x(t) в интеграле

  где   - рациональная функция своих аргументов, сводящая этот интеграл к интегралу от рациональной функции и имеющая один из следующих трех видов. Перваяподстановка Эйлера: если а>0, то 

Вторая подстановка Эйлера: если корни х ₁ и x₂ квадратного трехчлена ах ²+bх+с действительные, то 

Третья подстановка Эйлера: если c>0, то    (в правых частях равенств можно брать любые комбинации знаков). При всех Э. п. как старая переменная интегрирования x, так и радикал   рационально выражаются через новую переменную t.  Две первые Э. п. позволяют всегда свести интеграл (1) к интегралу от рациональной функции на любом промежутке, на к-ром радикал   пррнимает только действительные значения.  Геометрич. смысл Э. п. состоит в том, что кривая 2-го порядка 

имеет рациональное параметрич. представление: именно, если за параметр tвзять угловые коэффициенты пучка секущих у-y₀=t(x-x₀), проходящих через точку (x₀,y₀) кривой (2), то координаты этой кривой будут рационально выражаться через переменную t. В случае, когда а>0 и, следовательно, кривая (2) является гиперболой, для того, чтобы получить 1-ю Э. п., за точку (x₀,y₀) следует взять одну из бесконечно удаленных точек, определяемых направлениями асимптот этой гиперболы; в случае, когда корни х ₁ и х ₂квадратичного трехчлена ах²+bх+с действительны, для того, чтобы получить 2-ю Э. п., надо взять за точку (x₀,y₀) одну из точек (x₁.0) или (х ₂, 0); а в случае, когда с>0, чтобы получить 3-ю Э. п.- одну из точек пересечения кривой (2) с осью ординат, т. е. одну из точек