69Критерий интегрируемости функций

Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:  .

Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию:  .

Следствие 2: Если функция интегрируема на , то:  .

70Равномерная непрерывность

Определение 28.7: Функция   называется равномерно непрерывной на множестве  , если:  . (в отличие от критерия Коши:  ).  Пояснение:  (см.Рис.) Пусть:  . Тогда:  . Т.е. функция   не является равномерно непрерывной на множестве  .

Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.

Теорема Кантора

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то она равномерно-непрерывна на этом сегменте.

71.Классы интегрируемых функций

1. Любая функция, ограниченная и непрерывная в некотором промежутке, является интегрируемой на этом промежутке. К классу интегрируемых функций относятся также функции, ограниченные на промежутке интегрирования и имеющие на этом промежутке конечное число точек разрыва первого рода.

2. Если функция  f(x)  интегрируема на промежутке [a,b], то и функция  c f(x), где  c  – константа, интегрируема на этом промежутке.

3. Если функция  f(x)  интегрируема на промежутке [a,b], то и функция | f(x) | интегрируема на этом промежутке.

4. Если функции  f(x)  и  g(x)  интегрируемы на промежутке [a,b], то и их сумма, разность и произведение интегрируемы на этом промежутке.

5. Если функция  f(x)  интегрируема на промежутке [a,b], то она интегрируема и в любой части этого промежутка.

6. Если функция  f(x)  интегрируема в каждой части некоторого промежутка, то она интегрируема и на всем промежутке.

7. Если значения интегрируемой функции изменить в конечном числе точек на конечные величины, то интегрируемость функции не нарушится.  Применительно к функции  f(x) , которая не определена в конечном числе точек промежутка [a,b], это означает, что ни существование интеграла  , ни его величина не зависят от значений, приписанных функции  f(x)  в точках ее разрыва.

72.Свойства определенного интеграла.

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.  , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

73. Свойства интеграла с переменным верхним пределом (непрерывность, дифференцируемость).

Пусть   интегрируема на  . Тогда на   определена функция

называемя интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Пусть   интегрируема на  . Тогда функция   непрерывна на  .

Доказательство. Пусть  . Тогда

Функция   ограничена на   (поскольку она интегрируема), так что при некотором 

.

Следовательно

 при  ,

что и требовалось показать.

Теорема 2. Пусть функция   интегрируема на   и непрерывна в точке  . Тогда функция   имеет производную в точке   и

Доказательство. Вычитая из   предпологаемый предел  , имеем при 

.

Пусть  . Тогда в силу непревности   в точке  , если  .

Следовательно, при   (и  )

Но это означает, что

 при 

что и требовалось показать.

Теорема 3.Пусть функция   непрерывна на  . Тогда она имеет на   первообразную

, где  .

Доказательство.

следует из формулы (2) при  , и формулы (3) при  , если учесть, что в последнем случае   можно представить в виде  .

74.ТЕОРЕМА Ньютона-Лейбница

Основная теорема интегрального исчисления. Пусть функция   непрерывна на отрезке   и   - её первообразная на этом отрезке. Тогда

.

Это формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство. Функция   является первоообразной для функции   на отрезке  . Поэтому

,

т.е.

.

Отсюда следует при   получаем  . Выражая из последнего равентсва   и подставляя его в предшевствующееравентсво получаем, что

.

Последнее равенство при   совпадает с (4).

75 метод замены переменной в определенном интеграле

76 теорема об интегрируемости определенного интеграла по частям

77вычисление площади с помощью определенного интеграла

78 нахождение объема тел через площадь поперечного сечения

79 вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла

80) Дифференциал длины дуги 

     В декартовых координатах:

     В циллиндрических координатах:

81) Геометрические и физические приложения определенных интегралов.

Длина кривой. Если плоская кривая К задана параметрически: х = (t),  y = (t) (t₀ < t < t₁), причем (t) и (t) — непрерывно дифференцируемые функции, то она имеет длину l, вычисляемую по формуле

Если К задана явно непрерывно дифференцируемой функцией y = f (x) (x₀ < x < x₁), то она имеет длину

Если К задана в полярных координатах  = g() (₀ <  < ₁), то она имеет длину

Для кривой К в пространстве, заданной параметрически: x = (t), y = (t), z = (t) (t₀ < t < t₁), где (t), (t), (t) — непрерывно дифференцируемые функции, длина вычисляется по формуле

Площадь. Если f(х) является неотрицательной непрерывной на интервале а < х < b функцией, то площадь F криволинейной трапеции ABCD(рис. 1) вычисляется по формуле

 

Площадь S сектора ОАВ, ограниченного кривой АВ, заданной в полярных координатах: r = g() (0 <  < 1), и радиусом ОА и ОВ (рис. 2), определяется интервалом

 

Объемы тел вращения. Пусть функция f(x) неотрицательна и непрерывна на интервале а < х < b; объем V тела, получившегося в результате вращения криволинейной трапеции аАВb (рис. 3) вокруг оси х, определяется формулой

 

Объем V тела, заключенного между двумя плоскостями х = а и х = b, если площадь сечения, проведенного перпендикулярно оси х, есть известная функция х: S = f(x) (a < x < b), вычисляется (рис. 4) по формуле

 

 

Площадь поверхности тела вращения. Площадь S поверхности тела вращения, возникающего в результате вращения вокруг оси х кривой, заданной на интервале а < х < bнеотрицательной непрерывно дифференцируемой функцией f(x), вычисляется по формуле

Если вращающаяся кривая задана параметрически: х = (t), y = (t) (t₀ < t < t₁), то

Центр тяжести. Координаты (, ) центра тяжести материальной кривой с линейной плоскостью (х), заданной в явном виде:

y = f(x) (a < x < b), выражаются следующим образом:

где М — полная масса: 

При постоянной плотности (х) второе равенство может быть приведено к виду

(l — длина кривой). Это — первая теорема Гюльдена: площадь S поверхности тела вращения, образующегося в результате вращения некоторой кривой вокруг оси, не пересекающей этой кривой, равна произведению длины кривой на длину окружности, описываемой при этом вращении центром тяжести кривой: S = 2l.

 

Пример. При вращении окружности радиуса r вокруг не пересекающей ее оси образуется тор (рис. 5). Если масса распределена равномерно по окружности, то центр тяжести лежит в центре окружности. Пусть d — расстояние от центра до оси (d > r); тогда центр тяжести описывает окружность длиной 2d; отсюда по первой теореме Гюльдена получается площадь поверхности тора:

 

Координаты (, ) центра тяжести криволинейной трапеции (рис. 6) с равномерно распределенной массой (поверхностная плотность  =1) и площадью S вычисляется следующим образом:

Из второго равенство следует вторая теорема Гюльдена: объем V тела, описываемого плоской фигурой при вращении ее вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и не пересекающей ее, равен произведению площади S этой фигуры на длину окружности, описываемой при вращении центром тяжести этой фигуры: V = S x 2.

Пример. Объем тора (рис. 5); площадь вращающегося круга равна r²; таким образом, объем тора равен V = r² x 2d = 2²r²d.     Момент инерции. Момент инерции I_у некоторой кривой у = f(x) (a < x < b) с линейной плотностью (x) относительно оси х вычисляется по формуле

Момент инерции Iу относительно оси у криволинейной трапеции (рис. 7), с постоянной поверхностью плотности , равен