66Интегрирование биномиальных дифференциалов

рационализуется лишь в трех случаях:

     1)   подстановка   где k - общий знаменатель m и n;

     2)   подстановка   где k - знаменатель p;

     3)   подстановка   где k - знаменатель p.

     Интегрирование рационально-тригонометрических функций 

всегда рационализует универсальная подстановка 

     Специальные подстановки 

     1) Если R (-sin x, cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка cos x = t.

     2) Если R (sin x, -cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка sin x = t.

     3) Если R (-sin x, -cos x) = R (sin x, cos x), то рационализует подстановка tg x = t.

     Интегрирование рационально-гиперболических функций 

рационализует подстановка 

67Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или  ).  Для преобразования рациональных выражений от sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x и cosec x в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы: Чтобы вычислить интеграл вида  , где R - рациональная функция, используется подстановка  . Аналогично, для вычисления интеграла вида  , где R - рациональная функция, используется подстановка  .  Если подынтегральное выражение является только функцией tg x, то подстановка t = tg x преобразует такой интеграл в интеграл от рациональной функции.  Для вычисления интеграла вида  , где обе функции sin x и cos x входят в четной степени, применяется подстановка t = tg x и формулы

Пример 1

Вычислить интеграл  . Решение. Используем универсальную тригонометрическую подстановку        Так как  , получаем

68Определённый интеграл.

Пусть   определена на  . Разобьём  на части с несколькими произвольными точками  . Тогда говорят, что произведено разбиение   отрезка   Далее выберем произвольную точку  ,  ,

Определённым интегралом от функции   на отрезке  называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю  , если он существует независимо от разбиения   и выбора точек  , то есть

Если существует указанный предел, то функция   называется интегрируемой на   по Риману.

Интегрируемость

Определение 28.1: Множество точек отрезка   таких, что:  называют разбиением отрезка  . Длины частичных отрезков разбиения обозначим:  Мелкостью разбиения  (читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е.  .

Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех   точки  . Интегральной суммой функции   на отрезке   с разбиением   будем называть сумму (зависящую от разбиения   и выбора точек  ) вида:  .

Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции   на отрезке   назовём такое число  , что  . Обозначается:  .

Определение 28.4: Функция   называется интегрируемой на отрезке  , если существует конечный предел её интегнральных сумм на  . Обозначается:  .

Теорема 28.1: Если   интегрируема на отрезке  , то она ограничена на нём.

Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).

Замечание 2: В дальнейшем мы будем рассматривать только ограниченные функции.