Лабораторная работа 6 Построение динамической модели объекта по кривой отклика на ступенчатое возмущение

1. Постановка задачи: Исследуется динамика процесса получения серной кислоты в насадочной колонне. Произведено ступенчатое изменение давления в колонне, в результате чего получен рост концентрации кислоты по времени.

Необходимо путем обработки кривой отклика на ступенчатое возмущение методом последовательного логарифмирования получить:

1) ступенчатую переходную функцию и сравнить ее с экспериментальной переходной кривой,

2) передаточную функцию,

3) формальную модель динамики процесса в дифференциальной форме.

Построение динамической модели проводится в данной работе для случая простых действительных корней характеристического уравнения.

2. Метод решения задачи. В качестве примера рассмотрен переходной процесс в колонне при изменении давления в колонне на x=0.15 атм. Экспериментальную кривую отклика с(t) представим в относительной (безразмерной) форме y(t)=(с-c₀)/c₀, где c₀ - исходная концентрация кислоты. График y(t) приведен на рис.4. Решение поставленной задачи проводится в 3 этапа.

1) Построение переходной ступенчатой функции. Считая, что моделью динамики является линейное дифференциальное уравнение n – го порядка, функция отклика на ступенчатое возмущение будет иметь следующий вид.

, (1.27)

где k = y(∞)(в примере k=0.67), F(t) – решение однородного уравнения динамики процесса, p – корни характеристического уравнения.

Поскольку кривая переходного процесса представляет собой S-образную кривую, можно считать, что корни характеристического уравнения являются действительными и отрицательными.

.

Рис.1.4. График переходного процесса (концентрация кислоты в относительных отклонениях от начальной концентрации)

С течением времени все слагаемые функции F(t) асимптотически стремятся к нулю, при этом наиболее медленно это происходит у слагаемого с наименьшим корнем. Поэтому с некоторого момента времени справедливым будет следующее приближенное равенство

, (1.28)

логарифмируя которое, получим

. (1.29)

Таким образом, построив график зависимости (lnF) от t, можно определить участок кривой, переходящей в прямую, по которой и будут определены А₁ и р₁. Для расчета А₁ и р₁ могут использоваться как графический метод, так и программы расчета параметров линейной зависимости методом наименьших квадратов.

На втором этапе определяются вторые корень p₂ и постоянная A₂. Для этой цели строится зависимость

, (1.30)

по которой строится график ln│F₂│ от t и по прямой его составляющей определяются А₂ и р₂.

Аналогично будут определены все корни и постоянные уравнения. Параметры последней экспоненты A_N и p_N определяются следующим образом. Постоянная A_N - из условия равенства нулю выходной переменной в начальный момент времени, а корень p_N – из условия равенства расчетного и экспериментального y в какой-то средней точке.

(1.31)

После этого записывается конкретное выражение переходной функции (27), по которой строится расчетная кривая и сравнивается с экспериментальной.

2) Построение передаточной функции. Вначале необходимо получить изображение по Лапласу переходной ступенчатой функции y(t). Для этой цели используется следующая формула:

(1.32)

Изображение ступенчатого возмущения в данном примере будет равно X(p)=0.15/p. Передаточная функция объекта определяется по формуле W(p)=Y(p)/X(p) после подстановки в нее полученных ранее изображений входной и выходной переменных. После алгебраических преобразований получим дробное выражение типа W(p)=Q(p)/D(p).

3) Построение динамической модели в дифференциальной форме. Такое дифференциальное уравнение можно получить путем обратного преобразования передаточной функции по формуле:

. (1.33)

3. Исходные данные. Для выполнения задачи студенту задаются ступенчатое входное возмущение и выходная кривая отклика в относительных единицах.