Лабораторная работа 8 Определение импульсной переходной функции технологического объекта по данным текущей его эксплуатации

1. Постановка задачи. По заданным авто- и взаимокорреляционным функциям, полученным путем обработки входных и выходных сигналов в режиме текущей эксплуатации объекта, необходимо получить график весовой функции объекта.

2. Описание задачи. Весовая функция является важной динамической характеристикой объекта. Связь автокорреляционной R_x(θ-τ) и взаимокорреляционной R_xy(θ) функций с весовой функцией g(τ) для линейного объекта выражается следующим уравнением:

, (1.39)

где Т – период наблюдения, τ – аргумент весовой функции и время сдвига для автокорреляционной функции, θ - время сдвига для взаимокорреляционной функции.

Решение уравнения (1.39) позволит получить весовую функцию объекта g(τ). Численное выражение уравнения (1.39) имеет следующий вид.

(1.40)

, (1.41)

где ∆τ – шаг изменения времени задержки для автокорреляционной функции R_x(τ), ∆θ – шаг изменения времени для взаимокорреляционной функции R_xy(θ), n – число шагов на периоде наблюдения Т. Проще всего принять периоды наблюдения Т и шаги ∆τ=∆θ для обеих функций одинаковыми.

Систему уравнений (1.40) можно рассматривать как систему n линейных алгебраических уравнений с неизвестными g(τ₁), g(τ₂), … g(τ_n). Для примера запишем одно уравнение этой системы для i = 2.

(1.42)

Значения корреляционных функций, входящих в такие уравнения, определяются по заданным их графикам. При этом необходимо учесть, что автокорреляционная функция является четной, поэтому R_x(-a)= R_x(a). В результате составления подобных уравнений получим систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, решение которой позволит получить график весовой функции. Для решения системы линейных алгебраических уравнений рекомендуется воспользоваться математическим пакетом.

3. Исходные данные. По заданным преподавателем экспериментальным кривым R_xy(θ) и R_x(τ) необходимо составить таблицы исходных данных для n экспериментальных точек. Экспериментальные корреляционные кривые необходимо взять из задания по предыдущей лабораторной работе.

После этого необходимо составить систему линейных алгебраических уравнений динамики стохастического объекта (1.40), для решения которой предлагается использовать один из математических пакетов. По результатам расчета необходимо построить график весовой функции объекта и сделать вывод о динамических свойствах объекта.

Лабораторная работа 9

Построение динамической модели объекта по его импульсной характеристике методом моментов

1. Постановка задачи. По заданным авто- и взаимокорреляционным функциям, полученным путем обработки входных и выходных сигналов в режиме текущей эксплуатации объекта, необходимо получить график весовой функции объекта.

2. Описание задачи. Весовая функция является важной динамической

Лабораторная работа №8

Прогнозирование временных рядов методами авторегрессии

Временным рядом называют серию значений переменной, полученную через регулярные промежутки времени. Принимается, что переменные изменяются по времени случайным или частично случайным образом. К ним относятся, например, финансовые процессы изменение курса рубля и стоимости акций, экологические процессы изменения примесей в воздухе и реках, колебания технологических параметров во время протекания промышленных процессов и т.д. Задача прогноза значений параметров на предстоящий период времени имеет важное экономическое значение. Для прогнозирования временных рядов в настоящее время существует несколько общепризнанных методов: 1) эконометрические, 2) регрессионные, 3) методы Бокса-Дженкинса (ARIMA, ARMA), 4) нейросетевые.

Предобработка временных рядов. Она включает в себя заполнение пропущенных значений и сглаживание временных рядов. При работе с реальными данными, в особенности с временными рядами, наблюдаются пропущенные и неизвестные значения. Для получения лучших результатов желательно, чтобы эти значения были бы каким-то образом восстановлены. Основными методами заполнения пропущенных значений являются: 1) метод ближайшего соседа, 2) линейная интерполяция, 3) интерполяция кубическими сплайнами, 4) интерполяция кусочно-гладкими кубическими полиномами. Наибольшее распространение получил метод линейной интерполяции, согласно которому неизвестное значение y_i при соответствующем значении x_i или в момент времени t_i вычисляется по формуле

. (1.43)

Наилучшие результаты интерполяции обеспечивает метод кубических сплайнов.

Сглаживание временных рядов необходимо для улучшения качества прогнозов временных рядов. Самым известным методом сглаживания временных рядов является метод скользящего среднего. Каждое значение ряда y_t заменяется скользящим средним собственного значения и 2N ближайших соседей.

(1.44)

Указанные методы предобработки позволяют повысить как эффективность обучения сети, так и качество прогнозов модели.

Эконометрические методы прогноза. К эконометрическим относятся методы прогнозирования, основанные на сглаживании, экспоненциальном сглаживании и скользящем среднем.

При создании эконометрических моделей предполагается, что некоторый последний период прогнозируемого временного ряда лучше всего описывает будущее этого прогнозируемого ряда, поэтому в этих моделях прогноз, как правило, является очень простой функцией от значений прогнозируемой переменной в недалеком прошлом.

Наиболее простыми и потому менее точными являются линейные модели разных видов, которые учитывают возможные тренды.

Y(t+ Δt)=Y(t)+[Y(t)-Y(t- Δt)] (1.45)

Y(t+s)=Y(t)+[(Y(t)-Y(t-Δt)/ Δt]s (1.46)

По формуле (1.54) прогноз идет пошагово с интервалом времени Δt (время дискретизации), а по формуле (1.55) - через период времени s=nΔt (n – число шагов с интервалом Δt), в предположении, что Y(t) изменяется по линейному закону с постоянным значением углового коэффициента.

По методу скользящего среднего ряд усредняется по интервалу времени заданной длительности. Смысл его заключается в том, что модель видит только ближайшее прошлое (на T=nΔt отсчетов по времени в глубину) и основываясь только на этих данных строит прогноз. Как правило, значения временного ряда из недалекого прошлого лучше описывают прогноз, чем более старые значения этого же ряда.

Y(t+Δt)=(1/(T+Δt))*[Y(t)+Y(t-Δt)+...+Y(t-T)] (1.47)

При непрерывном прогнозировании довольно часто используется метод экспоненциальных средних, который постоянно адаптируется к данным за счет новых значений. Формула, описывающая эту модель, имеет следующий вид:

Y(t+Δt)=aY(t)+(1-a)Y^*(t), (1.48)

где Y(t+Δt) – прогноз на следующий период времени, Y(t) – реальное значение в момент времени t, Y^*(t) – прошлый прогноз на момент времени t

a – постоянная сглаживания (0<=a<=1).

В этом методе есть внутренний параметр a, который определяет зависимость прогноза от более старых данных, причем влияние данных на прогноз экспоненциально убывает с "возрастом" данных. Зависимость влияния данных на прогноз при разных коэффициентах показывает, что при a>1, экспоненциальная модель стремится к самой простой "наивной" модели. При a>0, прогнозируемая величина становится равной предыдущему прогнозу. Если производится прогнозирование с использованием модели экспоненциального сглаживания, обычно на некотором тестовом наборе строятся прогнозы при a=[0.01, 0.02, ..., 0.98, 0.99] и отслеживается, при каком a точность прогнозирования выше. Это значение постоянной сглаживания затем используется при прогнозировании в дальнейшем.

Следует отметить, что описанные алгоритмы вполне успешно можно использовать как сопутствующие и вспомогательные для предобработки данных в задачах прогнозирования. Например, для прогнозирования продаж в большинстве случаев необходимо проводить декомпозицию временных рядов (т.е. выделять отдельно тренд, сезонную и нерегулярную составляющие). Одним из методов выделения трендовых составляющих является использование экспоненциального сглаживания.

Методы прогноза авторегрессии - скользящего среднего. В середине 90-х годов прошлого века был разработан принципиально новый и достаточно мощный класс алгоритмов для прогнозирования временных рядов, называемые методами Бокса-Дженкинса. Самыми известными из алгоритмов Бокса-Дженкинса является алгоритмы авторегрессии AR, скользящего среднего MA и их композиция ARIMA. Они встроены практически в любой специализированный пакет для прогнозирования. Модели опираются только на информацию, содержащуюся в предыстории прогнозируемых рядов. Согласно этим методам задается лишь общий класс моделей, описывающих временной ряд, позволяющих как-то выражать текущее значение переменной через ее предыдущие значения, затем производится подстройка внутренних параметров.

Метод авторегрессии основан на зависимости переменной временного ряда от самой себя в предшествующие моменты времени. Обычно обнаруживается, что значения отклика в некоторой точке временного ряда сильно коррелированно с несколькими предшествующими и/или последующими значениями. Действительно, для многих явлений их современное состояние функционально определяется предшествующими состояниями системы, в большей степени недавними, в гораздо меньшей — далеко отстоящими от заданного по временному ряду. Подобные связи принято называть автокорреляцией — корреляцией ряда с самим собой. Автокорреляция первого порядка характеризует тесноту связи между соседними значениями временного ряда, автокорреляция второго порядка — между отстоящими друг от друга на два периода и т.д.

Зависимой переменной при построении авторегрессии первого порядка будет сам временной ряд, а независимой — он же, но смещенный на одно значение вниз. У авторегрессии второго порядка уже две независимые переменные – временной ряд, смещенный на одно и второе значения и т.д.

Авторегрессионные модели разных порядков AR(p) — первого, второго, в общем случае p-ого порядка — можно описать уравнениями следующего вида:

Y(t)=b₀+ b₁Y(t- Δt)+ b₂Y(t-2 Δt)+...+ b_pY(t-p Δt)+E(t), (1.49)

где Y(t)-зависимая переменная в момент времени t; b₀, b₁,.. b_p – коэффициенты авторегрессии; E(t) - нескоррелированная случайная компонента, которая не учитывается в данной модели, но присутствует в отклике. Задача заключается в том, чтобы определить b₀, b₁,.. b_p. Их можно оценить различными способами. Правильнее всего искать их через систему уравнений Юла-Уолкера, для составления этой системы потребуется расчет значений автокорреляционной функции. Можно поступить более простым способом - посчитать их методом наименьших квадратов.

В методе скользящего среднего в отличие от процесса авторегрессии, текущее наблюдение ряда представляет собой сумму случайной компоненты в данный момент и линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени. Модель скользящего среднего порядка q, обозначаемая MA(q), имеет следующий вид:

Y(t)=m+e(t)-w1*e(t-1)-w2*e(t-2)-...-w q *e(t- q), (1.50)

где Y(t)-зависимая переменная в момент времени t; m – математическое ожидание ряда; e(t)… e(t- q) – случайные компоненты ряда в разные моменты времени; w1, w2, ..., wq - оцениваемые параметры.

Более сложная модель ARIMA(p,q,r) является композиционной функцией моделей авторегрессии и скользящего среднего.