1. Классический метод расчета

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

1. Физика переходных процессов

В любой электрической цепи в какой-то момент времени происходит включение, выключение или переключение источников сигнала или пассивных элементов. Эти события называют коммутацией.

Начало отсчета времени чаще всего совмещают с моментом коммутации. После коммутации в электрической цепи возникают переходные процессы (изменяющиеся во времени токи и напряжения), обусловленные действием источников напряжения или тока, включенных в цепи после коммутации, и энергией, запасенной в реактивных элементах (индуктивностях и емкостях) до коммутации. Если после коммутации в цепи отсутствуют источники сигналов, то в ней возникают процессы, которые называют свободными.

Примером свободного процесса в механике являются колебания маятника, груз которого был отведен в сторону и затем отпущен.

С течением времени после коммутации переходные процессы завершаются, и сигналы в цепи становятся стационарными. Переходные процессы могут быть кратковременными (вплоть до долей наносекунды) и весьма продолжительными (часы).

Переходные процессы оказывают существенное влияние на работу электронных устройств. Они ограничивают производительность цифровых и вычислительных устройств, приводят к появлению ложных импульсных сигналов. В ряде случаев переходные процессы выполняют полезные функции.

Классический метод расчета переходных процессов базируется на составлении и решении дифференциальных уравнений, связывающих токи и напряжения в электрической цепи.

4

2. Законы Ома и Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений

Мгновенные значения токов и напряжений в электрической цепи связаны между собой уравнениями законов Ома и Кирхгофа.

В отдельных элементах цепи уравнения связи мгновенных значений тока и напряжения (закон Ома) имеют вид, приведенный в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Элемент	Уравнение
	для напряжения	для тока
Сопротивление R
Емкость C
Индуктивность L

Для каждого из узлов уравнение первого закона Кирхгофа для сходящихся к нему токов имеет вид

,

где - общее число узлов в электрической цепи.

По второму закону Кирхгофа для каждого из независимых контуров ( - число ветвей, не содержащих идеальные источники тока) записываются уравнения вида

,

5

где - напряжение на -м элементе соответствующего контура, а - ЭДС включенных в него источников.

1.3. Уравнения электрического равновесия

Система уравнений электрического равновесия цепи строится на основе законов Ома и Кирхгофа.

Рассмотрим пример цепи, показанной на рис. 1.1, где заданы положительные направления и условные обозначения всех токов и напряжений. Их мгновенные значения обозначаются строчными латинскими буквами без указания аргумента (времени), например, .

Рис. 1.1

Подсистема компонентных уравнений закона Ома для каждого элемента цепи имеет вид

(1.1)

В цепи два узла ( ), следовательно по первому закону Кирхгофа необходимо записать одно уравнение вида

6

. (1.2)

Всего в цепи три ветви, не содержащие идеальные источники тока ( ), тогда по второму закону Кирхгофа для указанных на схеме положительных направлений обхода контуров необходимо записать два ( ) уравнения вида

(1.3)

Объединяя полученные по законам Кирхгофа уравнения, получим подсистему топологических уравнений цепи

(1.4)

Полная система уравнений электрического равновесия цепи включает в себя подсистемы компонентных (1.1) и топологических (1.4) уравнений.

Выбрав искомую переменную, можно выразить через нее остальные токи и напряжения. В результате получим одно дифференциальное уравнение, порядок которого равен порядку цепи, который равен числу независимых реактивных элементов.

В качестве независимой переменной выберем ток , тогда с учетом второго и третьего уравнений системы (1.1) из третьего уравнения (1.4) получим

. (1.5)

7

Из второго уравнения (1.4) с учетом первого уравнения (1.1) и (1.5) получим

. (1.6)

Тогда из первого уравнения (1.4) с учетом (1.6) и четвертого уравнения (1.1) можно записать

. (1.7)

Преобразуя (1.6), получим дифференциальное уравнение

. (1.8)

1.4. Законы коммутации

Законы коммутации относятся к реактивным элементам цепи и основаны на том, что накопленная в них энергия не может изменяться скачкообразно, так как в момент мгновенного изменения энергии развивается бесконечная мощность, что практически не возможно.

8

В приведенных условиях через обозначен момент времени непосредственно перед коммутацией, а через - мгновенно после коммутации.

1.5. Начальные условия

Начальные условия переходного процесса – это напряжения емкостей и токи индуктивностей непосредственно после коммутации.

Они определяются из значений напряжений емкостей и токов индуктивностей перед коммутацией на основе законов коммутации:

(1.9)

До коммутации в цепи имеет место стационарный режим работы, в котором параметры токов и напряжений не изменяются во времени. При этом определение токов и напряжений ведется рассмотренными ранее методами расчета стационарных процессов.

Например, если до коммутации в цепи действовали источники постоянных токов и напряжений, то значения и определяются методами расчета цепей постоянного тока. Если действуют источники гармонических сигналов, то напряжения емкостей и токи индуктивностей определяются методом комплексных амплитуд с последующей подстановкой значения момента коммутации (обычно ).

Рассмотрим пример цепи, показанной на рис. 1.1, при выключении источника постоянного напряжения с ЭДС в момент времени (рис. 1.2а). Схема цепи показана на рис. 1.2б. До коммутации в цепи действовал источник постоянной ЭДС , при этом все токи и напряжения в цепи постоянны.

9

Схема цепи на постоянном токе (до коммутации) показана на рис. 1.2в. Она следует из схемы рис. 1.2б при замене емкости разрывом цепи (холостым ходом) в точках ее подключения, а индуктивности - коротким замыканием.

Рис. 1.2

В цепи на рис. 1.2в ток , совпадающий с током индуктивности, равен

, (1.10)

а напряжение на емкости определяется выражением

. (1.11)

На основании законов коммутации определим начальные условия

. (1.12)

10

1.6. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде

. (1.13)

Правая часть определяется источниками сигнала в цепи после коммутации. Если функция равна нулю (в цепи после коммутации отсутствуют источники сигнала), то получим однородное уравнение

. (1.14)

для свободного процесса .

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1.13) равно

. (1.15)

Функция - общее решение однородного уравнения вида (1.14), полученного приравниванием нулю правой части в (1.13), называется свободной составляющей переходного процесса. Она определяется энергией, накопленной реактивными элементами цепи до коммутации. Вторую часть решения (1.15) называют принужденной составляющей переходного процесса. Она является частным решением

11

неоднородного уравнения (1.13), появление которой обусловлено действием источников тока и напряжения после коммутации.

Свободная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения (1.14) Для ее определения необходимо решить характеристическое уравнение, которое получается из (1.14) формальной заменой -й производной на -ю степень переменной , является алгебраическим и имеет вид

. (1.16)

Это алгебраическое уравнение, которое решается известными методами для уравнений степени от 1 до 4. Уравнение высокой степени решается численными методами.

Характеристическое уравнение имеет корней, в том числе и комплексных, которые всегда возникают комплексно-сопряженными парами. Кроме того, корни характеристического уравнения могут быть кратными.

Пусть характеристическое уравнение имеет корней , , каждый из них с кратностью . Общее число корней равно порядку дифференциального уравнения,

.

Тогда общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения имеет вид

. (1.17)

12

Если все корни характеристического уравнения не кратны, то свободная составляющая записывается в более простом виде

. (1.18)

Величины или называют постоянными интегрирования. В общем случае это комплексные величины.

Корни характеристического уравнения обладают следующими свойствами:

- общее число корней равно порядку уравнения;

- действительные части корней удовлетворяют условию

;

- комплексные корни возникают комплексно сопряженными парами,

.

Для двух комплексно-сопряженных корней соответствующая им составляющая свободного процесса является действительной функцией времени,

.

1.7. Решение однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Для дифференциального уравнения первого порядка вида

(1.19)

с характеристическим уравнением

13

, (1.20)

единственный корень которого равен

, (1.21)

общее решение можно записать в виде

. (1.22)

1.8. Решение однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка

(1.23)

с квадратным характеристическим уравнением

, (1.24)

имеет корни вида

(1.25)

Вид корней зависит от коэффициентов уравнения. При

14

(1.26)

оба корня действительны, отрицательны и различны, тогда общее решение однородного дифференциального уравнения

имеет вид суммы двух экспонент с действительными отрицательными показателями.

. (1.27)

Если выполняется условие

, (1.28)

то оба корня характеристического уравнения одинаковы (кратны) и равны

. (1.29)

Тогда из (1.17) при и получим

, (1.30)

где величина отрицательна и определяется из (1.29).

Наконец, при

, (1.31)

15

подкоренное выражение в (1.25) отрицательно, а оба корня характеристического уравнения комплексоны и равны

, (1.32)

где

, (1.33)

. (1.34)

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид (1.27) и с учетом (1.32) равно

. (1.35)

Далее будет показано, что выражение в скобках после определения постоянных интегрирования и приводится к действительной функции времени в виде затухающего ( ) гармонического колебания с частотой , называемой частотой свободных колебаний.

1.9. Расчет принужденной составляющей переходного процесса

Принужденная составляющая переходного процесса обусловлена действием источников тока или напряжения в цепи после коммутации. Если они отсутствуют, то процесс является свободным и для него принужденная составляющая равна нулю.

16

Можно предложить два метода расчета принужденной компоненты переходного процесса.

Первый метод основан на использовании известных из математики частных решений неоднородного дифференциального уравнения (1.13) при заданной функции в его правой части. Примеры приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Вид функции	Принужденная составляющая
Константа	Константа
Экспонента	Экспонента
Гармоническая функция	Гармоническая функция

Параметры принужденной составляющей определяются при ее подстановке в дифференциальное уравнение (1.13) путем уравнивания коэффициентов при одинаковых функциях в правой и левой частях. Например, если правая часть постоянна , то получим (производные константы равны нулю)

, (1.36)

откуда следует

. (1.37)

Второй метод заключается в том, что с течением времени (при ) переходной процесс стремится к своей принужденной составляющей, так как свободная составляющая вида (1.17) или (1.18) при стремится к нулю в силу отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения.

17

В результате можно записать

, (1.38)

то есть принужденная составляющая является стационарным процессом, устанавливающимся в цепи через теоретически бесконечное время после коммутации. Тогда ее можно определить ранее изученными методами расчета стационарных токов и напряжений в линейной цепи.

Если в цепи после коммутации действуют источники постоянного тока (напряжения), то принужденная составляющая равна соответствующему искомому постоянному току (напряжению), который вычисляется методами расчета цепей постоянного тока.

При наличии в цепи после коммутации источников гармонических сигналов принужденная (стационарная) компонента переходного процесса определяется известными методами расчета цепей при гармонических воздействиях - методом комплексных амплитуд с различными его вариантами.

1.10. Общее решение дифференциального уравнения

В результате определения свободной (1.17) и принужденной составляющих можно записать общее решение дифференциального уравнения в виде

. (1.39)

При некратных корнях с учетом (1.18) аналогично получим

. (1.40)

18

Как видно, полученные решения содержат постоянных интегрирования, которые необходимо определить из начальных условий.

1.11. Расчет постоянных интегрирования

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий переходного (свободного) процесса. Для этого необходимо через полученное общее решение дифференциального уравнения вида (1.39) или (1.40) выразить все токи индуктивностей и напряжения емкостей , содержащие неизвестные постоянные интегрирования. В результате, подставляя , получим выражения для и . Приравнивая их начальным условиям, получим систему уравнений для постоянных интегрирования:

(1.41)

.

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, найдем в общем случае комплексные значения постоянных интегрирования. Подставляя их в общее решение дифференциального уравнения, получим выражение для искомого переходного процесса.

Записав окончательную формулу для , целесообразно построить соответствующий график и провести физический анализ полученного результата при и .

1.12. Задания для самостоятельного решения

Задание 1.1. Определите начальные условия в момент выключения источника тока рис. 1.3а в цепях, показанных на рис. 1.3б и рис. 1.3в.

19

Рис. 1.3

Задание 1.2. Определите начальные условия в момент выключения источника тока рис. 1.4а в цепях, показанных на рис. 1.4б и рис. 1.4в.

Рис. 1.4

Задание 1.3. Определите принужденную составляющую от включающегося источника тока рис. 1.5а для тока индуктивности в цепи рис. 1.5.б и напряжения емкости в цепи рис. 1.5в.

Рис. 1.5

20