3. Операторный метод расчета

3.1. Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа широко используется в математике в качестве символического метода решения дифференциальных уравнений. Оно ставит во взаимно однозначное соответствие функции времени , называемой оригиналом, функцию (изображение) комплексной переменной и применимо только при условии

. (3.1)

Прямое преобразование Лапласа имеет вид

(3.2)

и предполагает интегрирование по действительной переменной , а соответствующее ему обратное преобразование -

(3.3)

требует проведение интегрирования по комплексной плоскости, в пределах интегрирования величина является правой границей всех особых точек функции .

Вычисление преобразования Лапласа достаточно трудоемко и в инженерной практике оно проводится с использованием таблиц [1,2,7], в которых изображения представлены в виде дробно-рациональных функций, их числитель и знаменатель записаны в виде произведений простых сомножителей с

53

единичным коэффициентом при старшей степени и действительными параметрами. Примеры оригиналов и изображений по Лапласу приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
Дельта-функция Дирака	1	Единичная функция Хевисайда
(at)

Преобразование Лапласа обладает свойствами, представленными в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Свойство	Оригиналы	Изображения
линейности
дифференцирования
интегрирования
задержки
свертки

54

Взаимное соответствие оригиналов и изображений отображается символами или , например,

. (3.4)

3.2. Вычисление оригинала

Если найдено изображение , то для определения оригинала его необходимо преобразовать к указанной выше форме и по таблице найти соответствующий оригинал.

Если полученное изображение отсутствует в таблице, то используется разложение Хевисайда для изображения в виде рациональной алгебраической функции, выраженной отношением двух многочленов,

, (3.5)

где

, (3.6)

, (3.7)

- полиномы степени и соответственно, причем . Определяются полюсы изображения – корни полинома знаменателя:

. (3.8)

Если полюсы простые (корни уравнения (3.8) , некратные), то оригинал можно записать в виде

55

, (3.9)

где - производная полинома знаменателя при . В случае кратных корней также имеется общее выражение для оригинала [7].

В качестве примера рассмотрим изображение вида

, (3.10)

для которого полином знаменателя равен

. (3.11)

Из уравнения

(3.12)

следует, что функция имеет три некратных действительных полюса

(3.13)

Производная полинома знаменателя равна

, (3.14)

тогда из (3.9) получим

. (3.15)

56

На практике часто применяют разложение рациональной алгебраической функции в виде суммы простых дробей. Если корни уравнения (3.8) действительные и некратные, то можно записать

. (3.16)

Если среди некратных корней имеются два комплексно-сопряженных корня , то два соответствующих слагаемых в (3.10) заменяются выражением вида

. (3.17)

Неизвестные коэффициенты разложения можно определить суммированием дробей (3.16) и уравниваем результата с исходным выражением .

Имеется общая формула разложения и в случае кратных корней [7].

В качестве примера вновь рассмотрим изображение вида

, (3.18)

корни знаменателя определяются из (3.13), тогда получим

. (3.19)

Складывая дроби в (3.19), получим

57

(3.20)

Сравнивая полученное выражение с (3.18), получим систему уравнений

(3.21)

решение которой имеет вид (проведите этот расчет самостоятельно)

(3.22)

В результате из (3.19) получим

. (3.23)

Обращаясь к таблице преобразования Лапласа, получим

. (3.24)

что полностью совпадает с (3.15).

58

3.3. Операторные свойства токов и напряжений

Применительно к расчету переходных процессов в линейных электрических цепях свойства сигналов и цепей выражаются в операторной форме. Токи, напряжения и ЭДС как функции времени при обязательном условии (3.1) представляются своими изображению по Лапласу. Например, ЭДС вида

(3.25)

график которой показан на рис. 3.1, можно выразить с помощью функции Рис. 3.1

Хевисайда,

. (3.25)

Тогда в соответствии с табл. 3.1 операторная ЭДС равна

, (3.26)

то есть .

Аналогично можно записать операторные выражения для всех токов и напряжений цепи и .

Если в результате расчетов будет получено выражение для операторного тока в виде

, (3.27)

то соответствующий оригинал в соответствии с табл. 3.1 равен

59

. (3.28)

3.4. Законы Кирхгофа в операторной форме

Законы Кирхгофа в классической формулировке справедливы для операторных токов и напряжений в электрической цепи.

Первый закон Кирхгофа – алгебраическая сумма операторных токов, сходящихся в узле, равна нулю,

. (3.29)

Второй закон Кирхгофа - алгебраическая сумма операторных напряжений на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме операторных ЭДС включенных в контур идеальных источников напряжения,

. (3.30)

Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов, напряжений, ЭДС и направлений обхода контуров.

3.5. Закон Ома в операторной форме для элементов

цепи при нулевых начальных условиях

В операторной форме можно выразить сопротивления и проводимости элементов цепи при нулевых начальных условиях, результаты приведены в табл. 3.3.

60

Таблица 3.3

Элементы	Сопротивления	Проводимости

Тогда операторные токи и напряжения в элементах цепи связаны классическим выражением закона Ома в виде

или . (3.31)

3.6. Свойства цепи при ненулевых начальных условиях

При ненулевых начальных условиях токи или напряжения не равны нулю при , то есть нарушается условие (3.1) и к этим функциям времени нельзя применять преобразование Лапласа. В этом случае реактивные элементы цепи с ненулевыми начальными условиями необходимо заменить эквивалентными схемами замещения, показанными на рис. 3.2.

На рис. 3.2а показаны два варианта замены заряженной емкости (с начальным условием ) с идеальными источниками напряжения или тока. Включающийся после коммутации источник напряжения учитывает начальное напряжение емкости . Таким образом заряженная емкость заменяется «пустой» емкостью и источником напряжения, ЭДС которого удовлетворяет условию (3.1). Схема с источником тока получается из предыдущей в соответствии с теоремой об эквивалентном источнике (проведите необходимый анализ).

61

Рис. 3.2

На рис. 3.2б показаны два варианта замены индуктивности с начальным условием с идеальными источниками напряжения или тока. Включающийся после коммутации идеальный источник тока учитывает начальный ток индуктивности. Схема с источником напряжения вытекает из теоремы об эквивалентном источнике тока.

62

3.6. Формирование уравнений цепи

Прежде всего, необходимо сформировать эквивалентную операторную схему анализируемой цепи. Для этого в исходной схеме необходимо индуктивности и емкости с нулевыми начальными условиями заменить их операторными сопротивлениями согласно табл. 3.3, а реактивные элементы с ненулевыми начальными условиями заменить их эквивалентными схемами согласно рис. 3.2.

Затем в полученной эквивалентной схеме вводятся обозначения и положительные направления операторных токов и напряжений в элементах цепи, и по законам Ома и Кирхгофа составляется система уравнений электрического равновесия. При этом могут использоваться: метод расчета на основе закона Ома, общий метод расчета цепи на основе законов Ома и Кирхгофа, методы контурных токов и узловых напряжений, метод наложения и теорема об эквивалентном источнике.

Затем из системы уравнений выражается изображение искомого тока или напряжения и оно преобразуется к форме, пригодной для использования таблиц обратных преобразований Лапласа. С их помощью по найденному изображению определяется оригинал искомого сигнала.

3.7. Задания для самостоятельного решения

Задание 3.1. Определите изображения по Лапласу следующих функций

, .

Задание 3.2. Определите оригиналы следующих изображений по Лапласу

, , .

63

Задание 3.3. При включении источника тока (рис. 3.3а) запишите систему уравнений на основе общего метода расчета цепей по уравнениям Кирхгофа для операторного тока индуктивности (рис. 3.3б) и напряжения емкости (рис. 3.3в).

Рис. 3.3

Задание 3.4. При выключении источника напряжения (рис. 3.4а) запишите систему уравнений на основе методов контурных токов и узловых напряжений для цепей с ненулевыми начальными условиями, показанных на рис. 3.4б и рис. 3.4в.

Рис. 3.4

64