5. Временные параметры переходных

ПРОЦЕССОВ

5.1. Постоянная времени цепи

Постоянная времени электрической цепи – это интервал времени, в течение которого свободная составляющая переходного процесса в цепи первого порядка или амплитуда свободной составляющей колебательного переходного процесса в цепи второго порядка уменьшается в раз от своего начального значения.

Свободная составляющая переходного процесса всегда в целом затухающая функция времени, так как она возникает за счет энергии, накопленной в реактивных элементах цепи до коммутации.

В цепи первого порядка свободная составляющая изменяется по экспоненциальному закону вида

, (5.1)

где - коэффициент затухания. Зависимость показана на рис. 5.1, там же отмечена постоянная времени.

Рис. 5.1

83

Из (5.1) можно записать

, (5.2)

откуда следует

, (5.3)

то есть постоянная времени цепи обратно пропорциональна коэффициенту затухания .

В колебательном режиме в цепи второго порядка по экспоненциальному закону затухает амплитуда свободной составляющей

, (5.4)

как показано на рис. 5.2.

Рис. 5.2

В этом случае для определения постоянной времени проводится огибающая колебательного процесса (пунктир на рис. 5.2), по которой и определяется величина . И в этом случае справедлива формула (5.3).

84

Постоянная времени зависит от схемы цепи и параметров элементов. Она определяется в результате расчета свободной составляющей переходного процесса.

Например, для цепи первого порядка на рис. 2.1 получено выражение свободной составляющей (2.11) вида (5.1), из которого вытекает выражение для постоянной времени

. (5.5)

В последовательном колебательном контуре рис. 2.12 получено выражение для колебательного свободного процесса (2.78), амплитуда которого меняется по закону (5.4). Тогда для постоянной времени получим

. (5.6)

Величина постоянной времени характеризует инерционность цепи. Чем она выше, тем медленнее изменяются в цепи свободные токи и напряжения.

5.2. Время установления переходного процесса

Теоретически свободные и переходные процессы устанавливаются (протекают) бесконечно долго и строго говоря, время установления переходного процесса бесконечно. Однако подобное определение технически неконструктивно и его необходимо уточнить, введя определенный уровень снижения свободной составляющей переходного процесса, при котором его можно считать практически установившимся.

Например, если принять допустимым снижение свободной составляющей до 1% от начального значения, то из (5.1) получим уравнение для времени установления

85

, (5.7)

откуда следует

. (5.8)

Чаще всего используют инженерную оценку времени установления в виде

что вполне согласуется с (5.8).

5.3. Декремент затухания

Для колебательного свободного процесса вида рис. 5.2 в качестве характеристики уменьшения ее амплитуды используется величина декремента затухания, равного отношению амплитуд колебаний и на соседних периодах (отстоящих на интервал периода свободных колебаний друг от друга в любом месте временной диаграммы),

, (5.10)

как показано на рис. 5.3.

При незатухающих колебаниях (в идеальном контуре без потерь) . В реальном контуре при наличии потерь свободные колебания всегда затухают и . С учетом (5.4) нетрудно показать, что

86

. (5.11)

Рис. 5.3

На практике часто удобнее пользоваться логарифмическим декрементом затухания , равным

. (5.12)

Для простого последовательного колебательного контура вида рис. 2.12 были получены выражения для коэффициента затухания (2.56)

(5.13)

и частоты свободных колебаний (2.65)

(5.14)

. (5.15)

87

Определим период свободных колебаний

, (5.16)

тогда для логарифмического декремента затухания получим

, (5.17)

где - добротность контура (повторите необходимый материал). При приближенно

. (5.18)

Как видно, логарифмический декремент затухания полностью определяется добротностью колебательного контура.

Декремент затухания просто определяется экспериментально по осциллограмме свободного процесса (рис. 5.3) согласно (5.10). Тогда появляется возможность экспериментально определить добротность колебательного контура с помощью соотношения (5.18).

В высокодобротном колебательном контуре свободные колебания затухают медленно, как показано на рис. 5.4 для цепи, приведенной на рис. 2.12 при . Как видно, измерение декремента затухания затруднительно ввиду близости значений соседних амплитуд и , что приведет к большой погрешности определения величины . Удобнее проводить измерения амплитуд и , разделенных периодами,

88

, (5.19)

(пример для показан на рис. 5.4).

Рис. 5.4

Так как амплитуда свободного процесса затухает экспоненциально (5.4), то нетрудно показать, что

. (5.20)

Предлагаемая методика позволяет измерять декремент затухания свободных колебаний в высокодобротном контуре.

5.4. Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1. Определите постоянные времени цепей, показанных на рис. 5.5 при выключении идеального источника постоянного входного напряжения .

Задание 5.2. Определите время установления переходных процессов для цепей из задания 5.1.

89

Рис. 5.5

Задание 5.3. Определите условия возникновения колебательного режима и частоту свободных колебаний в цепи на рис. 5.6. Получите выражение для декремента и логарифмического декремента затухания.

Рис. 5.6

90