7. Схемотехническое моделирование

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

7.1. Методика моделирования

Моделирование переходных процессов можно проводить в различных пакетах схемотехнического моделирования, например MicroCAP 7. В задание на моделирование (программу) вводится ключ, управляемый импульсным напряжением, включающий или выключающий источники сигнала.

7.2. Моделирование свободного процесса

в цепи первого порядка

Рассмотрим свободный процесс в RC-цепи, схема которой показана на рис. 7.1а. Она будет исследоваться экспериментально в ходе лабораторных работ. Соответствующая модель показана на рис. 7.1б.

Рис. 7.1

В состав модели входит RC-цепь ( Мом, нФ), источник постоянного напряжения В и электронный ключ , управляемый импульсным источником сигнала . Временная диаграмма управляющего напряжения показана в нижней части рис. 7.2, его амплитуда равна 3 В, длительность 1 мс и период повторения 10 мс. Пока напряжение на управляющем входе равно 3В, ключ замкнут и емкость заряжается до напряжения источника В.

106

107

По окончании действия импульса ключ размыкается и в цепи возникает свободный процесс разряда емкости через сопротивление . Его временные диаграммы в режиме «Stepping» показаны в верхней части рис. 7.2 для различных значений кОм (нижняя кривая), кОм и МОм (верхняя кривая).

Проведите расчет свободного процесса в рассматриваемой цепи, получите выражение для напряжения на емкости, сравните результаты расчета и моделирования.

7.3. Моделирование свободного процесса

в цепи второго порядка

Задание на моделирование свободного процесса в колебательном контуре приведено на рис. 7.3. Эта цепь используется в лабораторной работе.

Рис. 7.3

При выбранном сопротивлении потерь контура Ом в цепи имеет место колебательный режим, временная диаграмма напряжения на емкости показана на рис. 7.4. В начале ключ замкнут, а через 100 мкс он выключается под действием управляющего сигнала, после этого в цепи начинается свободный колебательный процесс.

На рис. 7.5 приведены результаты моделирования свободного процесса в апериодическом режиме при кОм.

108

109

110

8. Нелинейные резистивные цепи

8.1. Нелинейные резистивные элементы,

вольтамперные характеристики

Нелинейные элементы (НЭ) подразделяются на резистивные, емкостные и индуктивные. Резистивные нелинейные элементы описываются вольтамперными характеристиками (ВАХ) - зависимостями тока через элемент от приложенного к нему напряжения.

В линейном сопротивлении имеется прямолинейная зависимость тока от напряжения (закон Ома). Нелинейное сопротивление имеет непрямолинейную ВАХ. В качестве примера на рис. 8.1 показана ВАХ полупроводникового диода.

В современной элект- Рис. 8.1

ронной технике используются

НЭ с разнообразными ВАХ. Нелинейные элементы классифицируют по числу полюсов - двухполюсники (полупроводниковый диод), трехполюсники (биполярный транзистор), четырехполюсники (биполярный транзистор в схеме с общим эмиттером) и т.д. Они могут быть неуправляемыми (полупроводниковый диод) и управляемыми (биполярный транзистор).

8.2. Расчет нелинейных цепей

Расчет нелинейных цепей проводится на основе законов Ома и Кирхгофа. В качестве примера рассмотрим цепь с полупроводниковым диодом, показанную на рис. 8.2. ВАХ нелинейного элемента показана на рис. 8.1.

111

Для полупроводникового диода известна аппроксимация ВАХ вида

, (8.1)

где - обратный ток насыщения, равный, например, 100 мкА,

Рис.8.2 1/В – параметр модели.

Они зависят от типа диода.

Запишем систему уравнений цепи на основе законов Ома и Кирхгофа

(8.2)

В результате получим уравнение

, (8.3)

которое не имеет аналитического решения и для определения напряжения необходимо использовать численные методы решения нелинейных уравнений.

Для решения уравнения (8.3) можно использовать пакет программ MathCAD, листинг программы показан на рис. 8.3. В примере выбраны значения А, 1/В, В и Ом. Программе необходимо задать начальное приближение искомой величины (принято В). Решение уравнения осуществляется функцией root(g(u),u), в которой решается уравнение для переменной , и результат передается в переменную , в рассматриваемом примере получим решение В.

112

Рис. 8.3

Численные расчеты требуют применения современной вычислительной техники. Они и не дают общей панорамы полученных решений и влияния на них параметров цепи.

8.3. Соединения нелинейных элементов

В цепи могут присутствовать несколько двухполюсных нелинейных элементов, которые целесообразно заменить одним эквивалентным НЭ.

При последовательном соединении двух НЭ (НЭ₁ и НЭ₂), как показано на рис. 8.4а, с вольтамперными характеристиками и у них общий ток , а общее напряжение складывается их напряжений на элементах . Для расчета ВАХ эквивалентного нелинейного элемента НЭ_Э на рис. 8.4б необходимо определить обратные характеристики и , тогда общее напряжение будет равно

,

а эквивалентная ВАХ будет обратной функцией .

113

Рис. 8.4

На рис. 8.4в в качестве примера показаны ВАХ нелинейных элементов НЭ₁ при А и 1/В, НЭ₂ и эквивалентного НЭ_Э для последовательного соединения элементов.

При параллельном соединении НЭ (рис. 8.5а) общее напряжение равно напряжениям на каждом из НЭ, а общий ток равен сумме токов каждого НЭ,

,

то есть общая ВАХ эквивалентного НЭ_Э (рис. 8.5б) равна сумме ВАХ отдельных нелинейных элементов.

Рис. 8.5

114

На рис. 8.6а показаны ВАХ рассмотренных ранее элементов НЭ₁ при А и 1/В, НЭ₂ и эквивалентного НЭ_Э для параллельного соединения. На рис. 8.6б показаны аналогичные ВАХ для двух одинаковых НЭ при А и 1/В (двух полупроводниковых диодов) и эквивалентная ВАХ их параллельного соединения.

Рис. 8.6

При смешанном соединении НЭ в цепи выделяются простые фрагменты, которые заменяются эквивалентными НЭ. Эта процедура продолжается до получения одного эквивалентного НЭ, при этом в цепи могут присутствовать и линейные элементы.

8.4. Графо-аналитический метод расчета нелинейных

резистивных цепей

Графо-аналитический метод расчета предполагает использования графических построений на ВАХ нелинейного элемента. Рассматриваемая цепь разделяется на две двухполюсные части – линейную и нелинейную (рис. 8.7).

115

Рис. 8.7

Нелинейная часть описывается своей ВАХ , которая изображается графически. Для линейной части записывается система уравнений по законам Ома и Кирхгофа, на основе которой формируется аналитическое линейное уравнение связи между током и напряжением (рис. 8.7). Оно изображается в виде прямой линии на ВАХ нелинейной части цепи. Линейная часть рассматривается как нагрузка нелинейной части, поэтому полученную линию называют нагрузочной. Точка пересечения ВАХ и нагрузочной линии геометрически определяет значения тока и напряжения .

В качестве примера рассмотрим цепь, показанную на рис. 8.2 при ВАХ диода, показанной на рис. 8.1. Видоизмененная схема цепи с выделенными линейной и нелинейной частями показана на рис. 8.8.

Рис. 8.8

116

На рис. 8.9а показана ВАХ нелинейной части (диода) . Для линейной части запишем систему уравнений по законам Ома и Кирхгофа в виде

откуда следует выражение, связывающее общие ток и напряжение в линейной части цепи

.

Эта зависимость в виде падающей прямой (нагрузочной линии) показана на рис. 8.9а. Она пересекается с ВАХ в точке А (рис. 8.9). На рис. 8.9б показана та же зависимость в укрупненном масштабе.

Рис. 8.9

Полученные на рис. 8.9 результаты (координаты точки А) соответствуют результатам численных расчетов, показанным на рис. 8.3 ( мА, В).

117

8.5. Воздействие переменного сигнала

на нелинейную цепь

Если на нелинейную резистивную цепь воздействует переменное напряжение, то аналитический расчет токов и напряжений может быть проведен так же, как и для постоянных воздействий.

Для цепи на рис. 8.2 с ВАХ вида рис. 8.1 при переменной ЭДС источника уравнение (8.3) для напряжения принимает вид

. (8.4)

Вычисления проводятся отдельно для каждого момента времени , соответствующая программа и результаты ее работы показана на рис. 8.10.

Рис. 8.10

Слева внизу на рис. 8.10 показана временная диаграмма напряжения, а справа – тока в цепи на рис. 8.2.

Эти же расчеты можно провести графоаналитическим методом. Для этого заданный интервал времени разбивается на

118

несколько значений, для которых вычисляется значение ЭДС источника и строятся соответствующие им нагрузочные линии, как показано на рис. 8.11а для положительных значений ЭДС, равных 1, 2, 3, 4 и 5 В, и на рис. 8.11б для значений -1, -2, -3, -4 и -5 В. На рис. 8.11б ВАХ диода не видна из-за малости обратного тока А, для ее отображения необходимо укрупнить масштаб, как показано на рис. 8.11в, при этом нагрузочные линии становятся практически вертикальными.

Рис. 8.11

Точки пересечения нагрузочных линий с ВАХ нелинейного элемента дают значения тока и напряжения в выбранные моменты времени.

Как видно, с ростом ЭДС напряжение на НЭ изменяется слабо (рис. 8.11а), а при оно практически равно ЭДС (рис. 8.11в), что вполне соответствует левой кривой на рис. 8.10. Аналогично можно проанализировать временную диаграмму тока, показанную в правой части рис. 8.10. Графические построения иллюстрирует рис. 8.12. В момент времени определяется ЭДС источника, по которой строится соответствующая нагрузочная линия, точка пересечения которой с ВАХ определяет значения тока и напряжения . Этот процесс показан на рис. 8.12 стрелками начиная с точки .

119

Рис. 8.12

Как видно, подобные построения достаточно трудоемки и их необходимо повторять снова для другого сигнала.

8.6. Динамические вольтамперные характеристики

Динамические ВАХ нелинейного элемента описывают его свойства с учетом нагрузки в виде зависимости тока НЭ от ЭДС действующего в цепи источника напряжения.

120

При построении динамической ВАХ в цепи выделяются источник, нелинейная часть (НЭ) и нагрузка , как показано на рис. 8.13а. Выбирается несколько значений ЭДС, для каждого из них строятся нагрузочные линии (рис. 8.13б), определяются соответствующие значения тока и строятся точки, соответствующие полученным значениям тока и ЭДС . Зависимость показана на рис. 8.13б жирной линией.

Рис. 8.13

Динамическая ВАХ позволяет проводить анализ воздействия на цепь различных источников сигнала, не прибегая к повторным построениям серии нагрузочных линий.

8.7. Анализ нелинейных цепей с управляемым

нелинейным трехполюсником

Рассмотрим цепь с нелинейным трехполюсником (биполярным транзистором, который будет изучаться в дальней-

121

шем), показанную на рис. 8.14. На рис. 8.15 показаны два семейства вольтамперных характеристик нелинейного элемента – входные (рис. 8.15а) и выходные (рис. 8.15б).

Для выходной цепи можно записать уравнения второго закона Кирхгофа

Рис. 8.14 ,

откуда следует выражение для нагрузочной линии

,

график которой в виде падающей прямой линии показан на рис. 8.15б.

Рис. 8.15

Точки пересечения нагрузочной линии с семейством выходных ВАХ образуют выходную динамическую характе-

122

ристику нагруженного НЭ (показана жирной прямой линией на рис. 8.15б). Каждой из точек пересечения семейства выходных ВАХ с нагрузочной линией (рис. 8.15б) соответствуют значения выходного напряжения и входного тока . Перенося эти точки на семейство входных ВАХ на рис. 8.15а (при выбранных значениях проводится горизонтальная линия до пересечения с входной ВАХ, соответствующей напряжению ), получим динамическую входную ВАХ, показанную жирной линией на рис. 8.15а.

Динамические ВАХ можно использовать для построения временных диаграмм токов и напряжений в нелинейной цепи, как показано на рис. 8.16 и рис. 8.17 при гармоническом входном воздействии в сумме с постоянным напряжением смещения . Входное напряжение равно .

Временной интервал (период) сигнала (в нижней части рис. 8.16) разбивается на несколько точек, в которых определяются значения входного напряжения (например, момент ). Пунктирными линиями со стрелками показано, как по динамической ВАХ определяется входной ток в момент . Затем на временной диаграмме входного тока (справа на рис. 8.16) отмечаются выбранные моменты времени (например, ) и соответствующие значения тока .

Затем временная диаграмма входного тока располагается справа от выходной динамической ВАХ (рис. 8.17) и в выбранные моменты времени определяется входной ток . Далее по этому значению тока выбирается соответствующая выходная ВАХ и находится ее точка пересечения с нагрузочной линией. В этих точках определяются значения выходных тока и напряжения . На временной диаграмме в нижней части рис. 8.17 отмечаются точки с координатами и , в результате получается временная диаграмма выходного сигнала цепи.

123

Рис. 8.16

Как видно, графо-аналитический метод эффективен для анализа нелинейных цепей с управляемыми НЭ. Он позволяет формировать временные диаграммы токов и напряжений при любых воздействиях. Возникающие при точных геометрических построениях трудности могут преодолеваться с использование современных средств вычислительной техники.

124

Рис. 8.17

8.8. Задания для самостоятельного решения

Задание 8.1. В цепи на рис. 8.18 аналитическим методом расчета определите ток и напряжение для ВАХ диода вида (8.1) при мкА и 1/В, Ом и В. Для расчетов используйте пакет программ MathCAD.

125

Рис. 8.18

Задание 8.2. Выполните задание 8.1 графоаналитическим методом, сравните с предыдущими результатами. Для расчетов и графических построений используйте пакет программ MathCAD.

Задание 8.3. Выполните задания 8.1 и 8.2 при В.

Задание 8.4. В цепи на рис. 8.19 аналитическим методом определите ток и напряжение для ВАХ двух одинаковых диодов вида (8.1) при мкА и 1/В, Ом и В. Для расчетов используйте пакет программ MathCAD.

Рис. 8.19

126