2.4. Критерий Найквиста в логарифмической форме.

Критерий Найквиста сводится к определению устойчивости замкну­той системы не только по АФХ разомкнутой системы, но и по амплитуд­но-частотной и фазочастотной характеристикам разомкнутой системы.

Для этого, как правило, используют логарифмические характери­с­тики - амплитудную L(ω) и фазовую φ(ω). Эти характеристики про­сты в построении, поэтому ими удобно пользоваться.

Формулировка критерия Найквиста в логарифмической форме:

1) если система устойчива в разомкнутом состоянии, то для устой­чи­вости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы логарифми­че­ская амплитудная характеристика (ЛАХ) пересекала ось абсцисс раньше, чем фазовая характеристика последний раз пересечет линию – -π, или, иными словами, на частоте среза ωc , соответствующей L(ω)=0 ве­личина фазы по модулю должна быть меньше π ;

2) если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет К корней в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой системы необ­ходимо и достаточно, чтобы при положительной ЛАХ число пересече­ний фазовой характеристики уровня π снизу вверх было на k/2 боль­ше числа пересечений в обратном направлении.

На рис, 7 показаны характеристики, соответствующие первой форму­ли­ровке ЛАХ L(ω) и четыре варианта фазовой характеристики φ(ω). Фазовые характеристики I и 4 соответствуют устойчивой замкнутой си­стеме, причем характеристика 4 соответствует АФХ на рис, 6,а. Харак­теристика 2 показывает, что система находится на границе устойчивости, характеристика 3 соответствует неустойчивой замкнутой системе,

На рис.8 приведены характеристики, иллюстрирующие вторую форму­лировку критерия. Характеристики, соответствующие устойчивой замк­нутой системе при k=1, показаны на рис.8,б

Порядок построения логарифмических амплитудных (ЛАХ) и фазовых (ЛФХ) частотных характеристик.

ЛАХ строится в виде зависимости 20Lg A(ω) от Lg(ω), где A(ω)– ампли­тудная частотная характеристика. Величина 20Lg A(ω) обозначается L(ω) и выражается в децибелах (дБ). На оси абсцисс указывается значе­ние Lg(ω) или значение самой частоты. В первом случае Lg(ω) выра­жается в декадах (или в октавах), соответствующих изменению частоты в 10 раз (или в 2 раза). При использовании лога­рифмического масштаба точка, соответствующая ω=0, находится сле­ва в бесконечности, поэтому логарифмические характеристики строятся не от нулевой частоты, а от достаточно малого, но конечного значе­ния ω, которое и откладывается в точке пересечения координатных осей.

ЛФХ строится в полулогарифмических координатах, т.е. в виде за­ви­симости φ от Lg(ω) , чтобы ЛАХ и ЛФХ были связаны одним масштабом по оси абсцисс.

Для построения ЛАХ нахождение амплитудной характеристики A(ω) системы и построение зависимости 20Lg А(ω) от Lg(ω) не обязатель­но. Достаточно привести систему к одноконтурной, состоящей из цепоч­ки последовательно соединенных звеньев. Для системы справедливы сле­дующие соотношения

(33)

где Li(ω), φi(ω)– ЛАХ и ЛФХ отдельных звеньев.

Суммируя ординаты характеристик отдельных звеньев, получают ло­гарифмические характеристики разомкнутой системы.

Для построения ЛАХ разомкнутой системы ее передаточную функ­цию следует представить в виде произведения элементарных сомножи­телей. порядок которых не превышает второго. Например:

(34)

Затем используют таблицу логарифмических частотных характери­стик элементарных сомножителей передаточных функций.

При построении ЛАХ разомкнутой системы вначале находят точку с координатами L(ω)=20Lgk , ω=1, где k - коэффициент переда­чи разомк­нутой системы. Затем через найденную точку проводят прямую линию с наклоном 20 (m- r), дБ/дек, где m - число дифференцирующих, a r- число интегрирующих звеньев. После этого на оси абсцисс от­кладываются значения сопрягающих частот Lg 1/Ti , где Тi - постоян­ные времени элементарных сомножителей. Для колебательного звена это постоянная времени при р2. Наряду со значением Lg 1/Ti на оси абсцисс удобно откладывать значения частоты ωi=1/Ti. Прямая, проходящая через точку L (ω)-20Lg k, ω=1 продлевается до наименьшей со­прягающей частоты. В этой точке происходит ее излом с изменением на­клона в соответствии с типом элементарного сомножителя, которому при­надлежит сопрягаю­щая частота. Таким же образом характеристика продле­вается в сторону увеличения частоты, претерпевая последовательно из­ломы на каждой сопрягающей частоте. При учете поправок для колебатель­ных звеньев построенная ЛАХ при необходимости уточняется.

ЛФХ определяется как сумма фазовых характеристик элементарных сомножителей. Например, для построения фазовой характеристики разомк­нутой системы передаточная функция которой представляется в виде (34), составляется уравнение

(35)

Порядок исследования устойчивости системы с использованием критерия Найквиста в логарифмической форме

1. Исследуемая система приводится к одноконтурному виду.

2. Передаточная функция разомкнутой системы представляется в ви­де произведения элементарных сомножителей.

Если выполняется условие , сомножители второго порядка вида

(36)

будут элементарными. При невыполнении этого условия сомножитель второ­го порядка представляется в виде произведения двух сомножите­лей перво­го порядка:

T12p2+T2p+1=(TAp+1)(TBp+1);

(37)

где (38)

Для разложения сомножителей третьего порядка на элементарные

T13p3+T22p2+T3p+1; (39)

(40)

необходимо найти корни уравнения T13p3+T22p2+T3p+1=0 (41)

любым из известных способов.

Если корни уравнения действительные разные:

P1=-λ1; p2=-λ2; p3=-λ3 то полином третьего порядка представляется в виде трех элементар­ных сомножителей первого порядка:

(42)

(43)

Если один корень действительный, а два остальные – комплексно-сопряженные, то полином третьего порядка представляется в виде произведения двух сомножителей – первого и второго порядка:

(44)

(45)

Полиномы более высоких порядков разлогаются аналогично. Для исследования устойчивости сложных многоконтурных систем с перекре­стными связями приходится находить корни уравнений высоких порядков.

Поэтому для таких систем критерием Найквиста в логарифмической форме, как правило, не пользуются.

3. Проверяется устойчивость разомкнутой системы аналогично мето­дике исследования системы критерием Найквиста в обычной форме, В слу­чае неустойчивости разомкнутой системы определяется число корней в правой полуплоскости.

4. Строится ЛФХ разомкнутой системы. Правило построения ЛФХ из­ложено ранее.

5. По уравнению фазовой характеристики, представляющему собой сумму фазовых характеристик элементарных сомножителей, вычисляют значения φ(ω) при различных значениях частоты ω и строят фазовую характеристику. Во избежание ошибок при определении углов, превышающих по абсолютной величине 90°, необходимо для колебательного звена с передаточной функцией фазовую характеристику рассчи­тывать по формуле

(46)

При изменении частоты от 0 до 1/T1 φ(ω) изменяется от 0 до -90°. При частоте ω>1/T1 выражение становится отрицательным:

(47)

В этом случае углы следует брать не в первой четверти (от 0 до +90°), а в третьей (от -90° до -180°).

Например, если при расчете получено

(48)

чему соответствует угол в первой четверти α=20°, то φ(ω) сле­дует определить по формуле

φ(ω)= -180°+α= -160° (49)

Дпя сомножителя T12p2+T2p+1 фазовая характеристика

(50)

При 0≤ω≤1/T1 углы следует брать в первой четверти в ин­тервале от 0 до +90°, а при ω≥1/ T1 когда

(51)

углы следует брать во второй четверти в интервале от +90° до +180°. Например,

(52)

тогда φ(ω)=180° - 20°= +160° (53)

Если ЛАX и ЛФХ построены правильно, предельное значение фазовой характеристики при ω→∞ должно соответствовать предельному наклону амплитудной характеристики:

предельный наклон амплитудной характеристики, (дБ/дек);

-(n-m)20, (54)

предельное значение фазовой характеристики

-(n-m) π/2 (55)

где n и m– порядок полиномов знаменателя и числителя передаточ­ной функции разомкнутой системы.

Например, если предельный наклон ЛАХ равен -60 дВ/дек, то пре­дельное значение фазовой характеристики должно составлять -270°.

6. На основании приведенных формулировок критерия Найквиста в логарифмической форме и с учетом взаимного расположения логариф­миче­ской амплитудной и фазовой характеристик разомкнутой системы делают вывод об устойчивости замкнутой системы.