2.5. Исследование устойчивости методом д-разбиения плоскости двух параметров

Если требуется определить влияние на устойчивость системы двух параметров, входящих в ее характеристическое уравнение линейно, при­меняют данный метод.

Построение границ устойчивости выполняют в следующем порядке.

1. Характеристические уравнения замкнутой системы

(56)

так как параметры K_ос и T_ос входят в его коэффициенты линейно, представляют в виде

(57)

где - полиномы, коэффициенты которых не зависят от K_ос и T_ос .

2. Выполняют подстановку и представляют полиномы и в виде комплексных величин, выделив их вещественные и мнимые части:

(58)

3. Систему уравнений записывают в виде

(59)

и решают ее относительно K_ос и T_ос

; (60)

(61)

где  - опрделитель системы,

. (62)

Для каждого значения частоты _i вычисляют K_осi и T_осi, задаваясь рядом положительных значений частоты . Если при выбранных значениях частоты определитель , то каждому _i соответствуют определенные значения K_ос и T_ос которые являются координатами точки на плоскости, где K_ос обязательно откладывается по оси абсцисс, а T_ос - по оси ординат. Поменяв местами столбцы оп­реде­лителя, изменяют обозначение осей на плоскости K_ос и T_ос.

5. Получают кривую, представляющую собой границу области с оди­наковым распределением корней характеристического уравнения (гра­ницу Д-разбиения), откладывая точки с найденными координатами K_осi и

Т_осi на плоскости K_ос, Т_ос и соединяя их линией. Граница Д-раз­биения в плоскости двух параметров не симметрична относительно веще­ствен­ной оси, но имеет совпадающие точки, соответствующие +ω_i и -ω_i, так как K_ос и Т_ос , являются четными функциями частоты, а Δ - нечетная функция частоты, т.е. Δ(ω)= -Δ(ω). Поэтому до­статочно построить границу Д -разбиения только для положительных час­тот +ω_i.

6. Построенная граница Д -разбиения дополняется прямыми при подстановке p=0 и р=∞ в уравнение (57). Урав­нения этих прямых могут быть получены следующим образом. Если сво­бодный член a_n и коэффициент a₀ при старшем члене характеристиче­ского уравнения зависят от параметров K_ос и T_ос , то, приравняв к нулю свободный член, получают уравнение особой прямой для случая p=0. Для р=∞ находят уравнение особой прямой, приравняв к нулю коэффи­циент при старшем члене. Особые прямые проходят в беско­нечности и не вычерчиваются, если указанные коэффициенты характерис­тического уравнения не зависят от K_ос и T_ос.

7. Если нет таких значений ω_i=ω₁≠0, при которых числи­тели и знаме­натель выражений (60) и (61) оказываются равными нулю, находят вещественные положительные корни ω1 уравнения

Δ=P₁(ω)Q₂(ω)-P₂(ω)Q₁(ω)=0 (63)

и проверяют, удовлетворяются ли условия

Δ1(ω₁)=Q₁(ω₁)R₂(ω₁)-Q₂(ω₁)R₁(ω₁) = 0;

Δ2(ω₁)=P₂(ω₁)R₁(ω₁)-P₁(ω₁)R₂(ω₁) = 0. (64)

Одно из выражений (60) и (61) при данном значении ω₁ является следствием другого, если эти условия удовлетворяются, в плоскости двух параметров K_ос и T_ос получается не точка, а прямая линия, опреде­ляемая уравнением

(65)

Эта прямая вычерчивается в плоскости K_ос , T_ос и называется особой прямой.

8. Выделяют предполагаемую область устойчивости D(n;0) , где n - число корней характеристического уравнения в левой полуплоскости комплексной плоскости корней, 0 - число корней в правой полуплоскости. Для этого применяют следующее правило штриховки.

Следует штриховать левую сторону при Δ>0 и правую при Δ<0 , если K_ос отложено по оси абсцисс, а T_ос - по оси орди­нат, двигаясь по кривой Д-разбиения в сторону возрастания частот. Знак Δ изменяется только при пересечении с особыми прямыми, т.е. при ω=0; ω=∞ ; ω=ω1, при движении вдоль кривой Д-раз­биения. Так как кривая Д-разбиения имеет совпадающие точки при +ω_i и -ω_i , то при изменении частоты от -∞ до +∞ она проходит дважды, поэтому ее штрихуют дважды (крестиками), но оба раза с одной стороны, поскольку знак определителя при изменении знака частоты ме­няется на обратный.

Правила штриховки особых прямых:

1) штриховка особой прямой однократная и направлена к заштрихо­ванной стороне кривой Д-разбиения, если особая прямая и кривая Д-разбиения сближаются асимптотически (рис. 9,а);

2) штриховка особой прямой однократная и около общей точки на­правлена к заштрихованной стороне кривой Д-разбиения, если особая прямая пересекает кривую Д-разбиения в двух точках; в точках пере­се­чения с кривой Д-разбиения штриховку особой прямой не изменяют, так как знак определителя системы в этих точках не изменяется (рис. 9,6);

3) штриховка особой прямой двойная и направлена к заштрихован­ной стороне кривой Д-разбиения, если особая прямая пересекает кри­вую Д-разбиения в двух точках, около той точки пересечения (точка А на рис. 9,в), в которой определитель Δ меняет знак, во второй точ­ке пересечения (точка В на рис. 9,а) определитель не меняет знака и штриховку особой прямой не изменяют;

4) особую прямую не штрихуют, если она пересекает кривую Д-раз­бие­ния (рис. 9,г), но знак определителя Δ в точке пересечения не меня­ется.

9. После построения кривой Д-разбиения и особых прямых и на­несения на них штриховки отыскивают область, внутрь которой направ­ле­на штриховка ее границ. Это предполагаемая область устойчивости. За­даются значениями параметров K_ос и T_ос , принадлежащими предпо­лагаемой области устойчивости, и одним из критериев проверяют устой­чи­вость системы. Система будет устойчивой при любых значениях парамет­ров K_ос и T_ос, принадлежащих данной области, т.е. если система устойчива, то в выделенной области распределение корней D(n;0). При пересечении особой прямой с одинарной штриховкой происходит пере­мещение одного корня, а при пересечении границы Д-разбиения с двой­ной штриховкой с внутренней стороны - перемещение двух корней в пра­вую полуплоскость комплексной плоскости корней.