7. Регрессионный анализ статистических данных

Регрессия – это односторонняя стохастическая зависимость, устанавливающая соответствие между случайными переменными. Если исследуют стохастическую зависимость переменной от , то устанавливают регрессию y на x (в противном случае регрессию x на y). Односторонняя стохастическая зависимость выражается с помощью функции регрессии или просто регрессии.

Задачами регрессионного анализа являются:

• построение математической модели в виде зависимости результативного признака от факторных признаков;

• оценивание параметров этой модели и установление ее соответствия выборочным наблюдениям;

• получение точечных и интервальных прогнозов результативного признака.

Относительно числа переменных различают парную регрессию – регрессия между двумя признаками и многомерную (множественную) регрессию – регрессия между результативным признаком и несколькими факторными признаками.

7.1 Парный линейный регрессионный анализ

Зависимость результативного признака y от факторного признака x можно представить в виде:

(2)

где – функция, выражающая объективную закономерность между результативным признаком и факторным признаком ; – случайная величина, выражающая влияние неконтролируемых и неучтенных факторов, а также ошибок измерения.

В случае парной линейной регрессии зависимость (2) принимается в виде

(3)

Тогда (4)

т.е. случайная величина характеризует отклонение фактического значения результативного признака от средней величины _, вычисленной по функции регрессии

(5)

Уравнение (5) называют моделью регрессии или уравнением регрессии.

Параметры называют коэффициентами регрессии. Коэффициенты регрессии должны быть подобраны таким образом, чтобы линия регрессии проходила как можно ближе ко всем точкам корреляционного поля, т.е. практически через его центр.

Запишем математическую модель парной линейной регрессии в виде:

Y = a0 + a1 × x4 (6)

Параметры регрессии определим с помощью инструмента «Регрессия» пакета анализа.

Выходная информация представлена в таблице 7.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,685493
R-квадрат	0,469901
Нормированный R-квадрат	0,458622
Стандартная ошибка	1,455659
Наблюдения	49
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	88,28075	88,28075	41,66265	5,5E-08
Остаток	47	99,59029	2,118942
Итого	48	187,871
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95.0%	Верхние 95.0%
Y-пересечение	11,61933	0,659897	17,6078	2,5E-22	10,29179	12,94687	10,29179	12,94687
х4	-13,1003	2,029594	-6,45466	5,5E-08	-17,1834	-9,01732	-17,1834	-9,01732

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии удобно использовать метод значение ( value). Обозначив через уровень значимости, получают следующее правило принятия решения:

• принять нулевую гипотезу о том, что коэффициент регрессии может быть равен нулю, если

• отвергнуть нулевую гипотезу, если .

Для двух коэффициентов уравнения линейной регрессии величина Р-значение<0,05. Из это-

го можно сделать вывод: коэффициенты статистически значимы и нулевая гипотеза о том, что коэффициенты регрессии могут быть равны нулю – отвергается.

Следовательно, уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

(7)

Выполним анализ качества полученной модели регрессии:

• R² = 0,439767 следовательно, 43,9% дисперсии производительности труда объясняется влиянием факторного признака, т.е. необходимо включить в математическую модель регрессии другие факторные признаки и выполнить многомерный регрессионный анализ;

• Критическое значение критерия Фишера при Следовательно, уравнение регрессии (6) статистически значимо, т.е. имеется соответствие данным наблюдений и его можно использовать для прогноза.

• Критическое значение - статистики при уровне значимости Для коэффициентов уравнения регрессии расчетные значения - статистики соответственно равны 14,92 и 6,074, т.е. статистически значимы все коэффициенты.

Следовательно, можно сделать заключение – уравнение регрессии в целом статистически значимо и его можно использовать для прогноза.

График подбора подтверждает хорошее качество полученной модели регрессии (рис.2).

Выполним прогнозы на основе полученной модели регрессии.

Пусть трудоемкость выпуска продукции составляет х4=0,3. Тогда точечный прогноз для производительности труда равен:

Рис.2. График подбора аппроксимирующей функции.

При этом выборочном значении х₄ выборочное значение 7,37.

Для построения интервального прогноза из выходной информации инструмента «Регрессия» из «Регрессионной статистики» выбираем значение стандартной ошибки - 1,57 . Тогда в соответствии с неравенствами имеем 7,8-1,57*2,01 7,8+1,57*2,01. Или

, т.е. с вероятностью 95% истинное значение производительности труда на предприятии при х4=0,3 будет находиться в пределах от 4,644 до 10,955.